運動エネルギーと座標変換
運動量や角運動量保存について学んでいるのですが、それ等の法則と座標系についての関係についてよく分かりません。
運動エネルギーを一般座標系を位置座標X,Y,Zで表示すれば
T=m/2(x'^2+y'^2+z'^2)
x'=dx/dt
と、一般座標が一切入らず、一般速度だけで表すことが出来るはずです。
しかし、一般座標系を例えば球面座標系（r、θ、φ)
として表せば
T＝m/2(r'^2+(rθ')^2+(rsin(θ)φ')^2)
と、一般座標rとθが入り混じった形式になってしまいます。
つまり、デカルト座標、X,Y,Zを使えば、自由運動をしている粒子の運動量がX,Y,Zと3方向保存されるのに、
球面座標系で表せば、φしか循環座標ではないので、
Z軸に対しての角運動量が保存される、と言えると思います。
そこで、疑問なのが、まず
１)デカルト座標系での例で、
「運動エネルギーは位置座標によらない」
と示唆しているような気がします。
しかし、球面座標系では
「運動エネルギーは位置座標に依存している（rとθ)」
と結論ずけている気がします。
この両者は矛盾しているのではないでしょうか？
２)
何故運動保存が座標系によって変わるのか。
粒子の運動と言うのは物理的に存在しているのであって、座標系を変えることでその運動自体は変わらないのに、保存される量が変わると言うのは直感的に理解出来ません。
３)
後、何故φに対する運動量は保存され、θに対する運動量は保存されないのか。（循環座標ではないのか)。
言ってみれば、φはZ軸のまわりの角度を表し、θは（例えば)X軸やY軸の周りの角度を表しているはずです。
何故φの運動量だけが保存されるのか分かりません。
どなたかご教授して頂ければ幸いです。
長文乱文失礼いたしました。
よろしくお願いします。
お礼
ありがとうございます！まだ途中までしか読んでないんですが（汗）何だかいけそうです。このサイトを知れてよかったです。ありがとうございました！