ハミルトンヤコビの方程式と作用積分

質問

大学3年にして量子力学をちゃんとやろうと思い、解析力学入門の演習問題をやっているのですが、以下の問題がわかりません。

”ハミルトンがｐ、ｑ、ｔであたえられているとき、ラグランジアンをｑ、ｑ’、ｔの関数として運動方程式の解を代入し、その作用積分の上限をｔとした関数Ｉ（ｔ）を考えるとき、Ｉ（ｔ）はハミルトンヤコビ方程式の解となっていることを示せ。”

解答では、
ｄＩ／ｄｔ＝（∂Ｉ／∂ｔ）＋（∂Ｉ／∂ｑ）ｑ’
としているのですが、運動方程式の解を代入すればＩはそもそもｔだけの関数になるんじゃないでしょうか？それにｑの関数になるとしてもｑ'の関数にはならないのでしょうか？

また、これを認めても、
piqi'+H(qi,pi,t)＝（∂Ｉ/∂t）＋（∂Ｉ/∂q）q’からイキナリ
（∂Ｉ/∂q）＝pi
を導いてる意味がわかりません。

ラングランジアンやハミルトンの関係や、それらと一般化座標、運動量の関係は大体理解しています（つもりです（＾＾；））。

回答No.1

lineage_of_kei · ベストアンサー

Hamilton-Jacobi形式なんてめったに使わないのでどこかおかしいかもしれないですが、演習の回答程度に参考にしてみてください。

>”ハミルトン（Hamiltonian?）がｐ、ｑ、ｔであたえられているとき、ラグランジアンをｑ、ｑ’、ｔの関数として運動方程式の解を代入し、その作用積分の上限をｔとした関数Ｉ（ｔ）を考えるとき、Ｉ（ｔ）はハミルトンヤコビ方程式の解となっていることを示せ。”

今は作用に使う変数が分からないのでここは空欄として ? で書いて改めて定義を書けば

I(?) = ∫[t0→t] ds Ｌ( s , q(s) , q'(s) )

= ∫[t0→t] ds ( pq'(s) - H(s) )

（心の目でシグマの記号をしかるべきとこに入れてね）

= ∫[q(t0)→q(t)] ds p dq -∫[t0→t] ds H(s)

このように書けば第1項は一般化座標qの関数であり、第2項は時間の関数となります。
ゆえに、 I=I( t , q(t) ) と書くことに何ら問題はなく

> ｄＩ／ｄｔ＝（∂Ｉ／∂ｔ）＋（∂Ｉ／∂ｑ）ｑ’

この式が満たされます。

I( t , q(t) )の第1項はもはや時間を用に含まない式なので

I( t , q(t) ) = ∫[q(t0)→q(t)] ds p dq -∫[t0→t] ds H(s)

を時間で偏微分して（∂tで時間の偏微分ということで）

∂t I( t , q(t) )

　=∂t ∫[q(t0)→q(t)] ds p dq ←　＝０
　　　-∂t ∫[t0→t] ds H(s)

　=-H(t)

ゆえに、

∂t I( t , q(t) ) + H(t) =0

とHamilton-Jacobi方程式を得る。また作用積分を時間で”常”微分すると

∂t I ＋ q' ∂q Ｉ = pq' - H

という関係を得るが、Hamilton-jacobi方程式より、

q' ∂q Ｉ = pq' - ( ∂t I + H )
= pq'

となるので係数を比較して

p = ∂q Ｉ

なる関係を得る。本来Hamiltonianは　H( t , q , p )と書かれるべきなのでHamilton-Jacobi方程式は

∂t I( t , q ) + H( t , q , ∂q Ｉ ) =0

である。

こんなもんでどうでしょう？

個人的には量子論はHamilton-Jacobiから移行するよりも、歴史に反して量子論から古典論への極限移行をした結果うまいこと古典論的運動方程式であるHamilton-Jacobi方程式に帰着できるとするのが、一番しっくり来るように感じます。
解析力学も楽しいですが、量子論を勉強するための助走というのならば方程式を知っているだけで十分かと思います。数学として興味があるのならもっと先まで進まれるとよろしいでしょう。

お礼

すばらしい解答でした。実はこの質問をした後すぐにwikipediaで調べて大体わかったのですが,自分の解釈したことが見事に数式にされていて感動しました。締め切らなくて本当に良かったです。ありがとうございました。
アドバイスもご丁寧にありがとうございます。量子力学をやろうとしたのはまあ暇だからってことなんで、とりあえず今は解析力学に身をゆだねる（？）ことにします（＾＾）