解析力学に関する質問

質問

解析力学でラグランジュ方程式を導出するとき
作用をS、ラグランジアンをLとする
δS=δ∫Ldt（区間と変数は省略）
を考え、これが極値を取る条件としてδS=0ならラグランジュの方程式が得られますが
このδSが0だとどうして極値をとると言えるんでしょうか。
ご教授よろしくお願いします

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

＞これが極値を取る条件として・・・

の「これ」は、

　　Ｓ＝∫Ldt　　　(1)

の事だ、というのはOKですよね？（確認です）。

　#1さんの仰る事を、もう少し具体的に定式化してみます。ただし言葉で・・・。

　積分Ｓ（作用）は、それを行う経路依存です。それを陽に書くと(1)は、

　　Ｓ＝∫L(x(t)，x'(t))dt　　　(2)

です。時間の関数x(t)は、積分を行うべき、系の可能な経路（軌道）を表し、x'(t)はx(t)の時間微分です。(2)でさらに、値Ｓが経路x(t)に依存する事を明記し、

　　Ｓ[x(t)]＝∫L(x(t)，x'(t))dt　　　(3)

と書きます。(3)の[x(t)]は、積分値Ｓが、関数x(t)の選択によって変化する事を、明記しただけです。しかしＳを(3)のように書くと、(3)全体の意味は、可能なx(t)を全て集めた集合、Ｃ＝{可能なx(t)全体}から実数の集合Ｒへの写像（関数）だと考えられます。

　　Ｓ：　Ｃ→Ｒ　　　(4)

　ここまでは用語の定義みたいなものです。実数xを独立変数とする普通の関数f(x)の定義域をＡ（x∈Ａ）とした時、

　　ｆ：　Ａ→Ｒ　　　(5)

と書くのと、全くいっしょです。ただし(4)の関数としてのＳの独立変数は、関数x(t)で、ふつうの数ではないので、関数と言っても一風変わったものだよという意味で、汎関数と言ったりします。

　(5)のf(x)の極値を考える場合、集合Ａ上で微積を行います。このとき前提として、Ａ上には距離が必要です。x1，x2∈Ａとして、距離α＝x2－x1が定義されてる事です。Ａにαは自然に備わっているので、ふつうは気にせずに、df/dxの計算に移行しますが、これは実質的に、df/dαの計算である事に注意して下さい。

　(4)でも同様ですが、まずＣ上に距離を定義する必要があります。関数どうしの距離（2つの関数が、どんだけ離れてるかの評価）の定義は、数学的にいくつかありますが、x1(t)，x2(t)∈Ｃとしたとき、いずれを適用しても、α(x1(t)，x2(t))＝０ならx1(t)＝x2(t)になるのは、もちろんです。

　とにかくＣ上に距離αを定義してしまえば、ふつうの微積分dＳ/dαは可能になります。距離αは「ふつうの数」だからです。ところが以上の話を数学的に厳密にやろうとすると、関数空間の話になってしまい面倒なので、「大概ここの説明が」省略されます。という訳で、変分δＳの定義は以下です。

　　δＳ＝dＳ/dα・dα　　　(6)

　(6)のδＳの実質は、汎関数Ｓの微分を意味し、fの微分をdf＝df/dx・dx（＝df/dα・dα）と書くのと同じです。関数空間の話を省略したので、(6)の右辺をもろに出すわけには行かず、大抵はδＳがいきなり出てきます。汎関数の微分を変分と言い、記号δを使うのは、たんなる習慣です。だからδＳ＝０は、dＳ/dα＝０を言ってるに過ぎません。

　ゴールドスタインの古典力学（吉岡書店）では、距離という言葉までは出て来ませんが、(2)の可能な経路x(t)は、解関数x0(t)からの距離αで分類できるという見方をし、

　　Ｓ＝∫L(x(t，α)，x'(t，α))dt　　　(7)

なる表現が出てきます。(7)の表現では、積分記号下の経路xは、tとαの多変数関数になるので、積分記号化の微分を使い、

　　δＳ＝∂Ｓ/∂α・dα　　　　　　　(8)

が、変分の定義になっています。

お礼

丁寧な回答有り難うございます。非常にわかり易かったです。
ランダウの力学見て勉強していたのですがゴールドスタイの力学も参考に見てみます。

回答No.1

yokkun831

一般の微分と同じ考えでよいと思います。

関数 f(x) の値が極値（正確には停留値）をとる条件
df(x)/dx = 0

δS の場合は，汎関数の「極値」ですから，独立変数は経路を決定するパラメータということになります。

お礼

回答有り難うございました。