解析力学でqi、piを独立変数とするのは無限小変換と関係がある？

質問

解析力学でqi、piを独立変数と考えて理論を展開していますが、実際の運動ではｑの変化とｐの変化は無関係ではありえません。では何故解析力学では独立変数のように取り扱うのでしょうか。どうも仮想変位を理論の根底に据えているからでしょうか。。。確かに無限小正準変換の連鎖で有限の正準変換が実現できますが、この無限小変換ではｑとｐを独立して変化させるというあたりからくるのでしょうか。
どうも上手く表現できなくてすみません。どなたかこのあたりの事情に詳しい方の解答をお願いします。

回答No.2

guiter · ベストアンサー

＞なぜ独立変数として扱えるかという点がどうも腑に落ちないのです。。。
これは、論理が逆になっているのではないかと思います。
はじめに正準変換論ありき、になっていませんか？

正準方程式や正準変換がはじめにある。
　　　　↓
その形式の中で、独立変数として扱えるのはなぜか？

ということではなく、下での私の回答にあるように
Eular-Lagrange 方程式では扱えない変換も扱えるような
理論を作りたいというところがもとにあります。
ですから、論理の流れとしては

Eular-Lagrange 方程式では q=Q+Qdot のように
一般化座標の時間微分の入る変換は扱えない。
　　　　↓
Qdot 自体（あるいはQの時間微分に関係するようなもの）を独立変数に
してしまえば変換には時間微分が入らないので、
それらを独立変数として理論を構築しよう。

ということです。
独立変数は pi でなくてもいいのです。
まあ、pi にするのが自然ですよね。

なぜ、独立変数として扱えるかではなく
piを独立変数とすると方程式はどのような形でなければいけないのかを考えた結果、
正準方程式が導かれたということだと思いますよ。
納得できないですか？

お礼

ご丁重な回答ありがとうございました。

＞Qdot 自体（あるいはQの時間微分に関係するようなもの）を独立変数に
＞してしまえば変換には時間微分が入らないので、
＞それらを独立変数として理論を構築しよう。

なるほど、なんとなく分かったような気がします。ただ、Qdotはいわゆる
Newton流の運動量を必ずしも意味しない、ということになるのですね。
しかしまぁ、ある意味で強引(^^);;とも言えるような理論の構築と感じる
のは私だけでしょうか。。。

まずは御礼まで。

回答No.4

guiter

＞Eular でなくて Euler ですよね．
あららら、良く見ると全部そうなってますね。
１回目に間違えて、手癖がついたのでしょうか？
siegmund さん、訂正ありがとうございます。

せっかく出てきたので、少し余談を。
Lagrangian は良く書かれているあの形が唯一というわけではありません。
例えば、１次元自由粒子では普通
　Ｌ＝m/2*(xdot)^2
という形に書きますが、次のように
　Ｌ＝exp(A*xdot)
と書いても同じ自由粒子の方程式を導くことが出来ます。
したがって、運動方程式が与えられているときには、それを与えるような
出来るだけ簡単な Lagrangian をとればいいのです。

運動方程式が与えられていないとき（新しい素粒子の運動など）には
一般原理や、物理系の対称性などから Lagrangian を出来るだけ制限して
そこから逆に運動方程式を導き、実験結果と比較して良し悪しを決める
ということも行なわれています。

話は飛びますが、場の理論の Dirac 方程式というものでは
４成分の波動関数が出てきますが、この場合も４成分でなければならないのではなく
いろいろな制限を満たすには４成分以上あれば良いので
最も簡単な４成分で方程式が作られています。
こういったところが、初めて学ぶときにはわかりにくいのかもしれませんね。

お礼

非常に薀蓄深いご教示をいただきましてありがとうございました。
なんとなく解析力学の面白さを改めて感じはじめています(^^)。

回答No.3

siegmund

guiter さんの見事な回答で終わりかと思ったら，
もうひとつ質問が来ましたね．

私も昨年解析力学の授業を持っていましたが，
こういうあたりは苦労するところです．

ハミルトニアンを H(q,p,t) と書いたところでは，特にｑとｐの間の
関係は規定されていません．
guiter さんが「一応独立」と書かれているのはそういうことでしょう．
したがって，ハミルトニアンを書いた段階では，
何も運動を決めるものがありません．
これにハミルトンの原理
(1)　　δS = δ∫{p qdot - H(q,p,t)}dt = 0
すなわち作用積分が停留値を取る，というのが加わって初めて運動が規定されます．
任意の変分δq，δpに対してδS=0 から
(2)　　pdot＝－∂H/∂q，　　qdot＝∂H/∂p
が導かれるわけです．

(2)の関係がありますから，ｐとｑとは全く独立と言うわけには行きません．
ただし，ｐとｑの関係は力学系を特徴づけるハミルトニアン自身が規定しています．
これに対して，ラグランジュ形式の方ではｑと qdot の関係は時間微分ですから，
いわばガチガチに決まっていて，いろいろいじる余地がありません．

ｐとｑとは全く独立と言うわけには行かないのは，
(3)　　q = q(Q,P,t)
(4)　　p = p(Q,P,t)
のようなｐ，ｑを混ぜる変換が勝手にできないことに現れています．
ｐ，ｑが全く独立なら勝手に変換しても良さそうですが，(2)の縛りがあります．
したがって，新しい変数Ｐ，Ｑに移ったときにある関数K(Q,P,t)があって，
(2)　　Pdot＝－∂K/∂Q，　　Qdot＝∂K/∂P
となっていないと具合が悪い．
ここらへんが，正準変換や変換の母関数の話と結びつきます．

大分表現は違いますが，guiter さんのNo.2の回答と同じ流れの回答になっています．

あの，guiter さん，Eular でなくて Euler ですよね．
ミスタイプと思いますが，揚げ足取りみたいで恐縮です．
私もよくミスタイプするから，他人のこと言えませんが．

お礼

ご回答ありがとうございました。

＞ｐとｑとは全く独立と言うわけには行かないのは，
＞(3)　　q = q(Q,P,t)
＞(4)　　p = p(Q,P,t)
＞のようなｐ，ｑを混ぜる変換が勝手にできないことに現れています．
＞ｐ，ｑが全く独立なら勝手に変換しても良さそうですが，(2)の縛りがありま
＞す．
＞したがって，新しい変数Ｐ，Ｑに移ったときにある関数K(Q,P,t)があって，
＞(2)　　Pdot＝－∂K/∂Q，　　Qdot＝∂K/∂P
＞となっていないと具合が悪い．
＞ここらへんが，正準変換や変換の母関数の話と結びつきます

ｐとｑを共役変数と呼ぶ意味がこの辺にあるのですね。解析力学はなんとも意味
深いと思います。

回答No.1

guiter

質問よりも遡ったところからスタートします。

まず、力学といえば Newton の運動方程式です。
Newton の運動方程式はデカルト座標(xyz)で良く知られた形をしています。
一方、物理の問題を解く際に別の座標系（ｒθφ球面座標など）を用いたほうが
問題が簡単になることが多々あります。
しかし、やってみるとわかると思いますが Newton の運動方程式を
ｒθφに書き直すだけでもものすごく大変です。

そこで、方程式の形が座標系によらないものとして Eular-Lagrange の方程式が考え出されました。
ただし、Eular-Lagrange 方程式は粒子系のみではなく、電磁系にも成立する
より一般的なものとなっています。
ここで、Lagrangian は一般化座標 q1,q2, ... とそれらの一階時間微分の関数として
　Ｌ＝Ｌ(q1,q2, ... ,q1dot,q2dot, ...)
という形に書かれています。
この方法では、ある変数 q1,q2, ...から別の変数 Q1,Q2, ...への次のような変換に対して方程式の形が変わりません。
　q1=q1(Q1,Q2,...,Qn)
　q2=q2(Q1,Q2,...,Qn)
　　：
　　：
　qn=qn(Q1,Q2,...,Qn)

しかし、この変換はある限られたタイプのものになっています。
これだけでも非常に有効なのですが、例えば
　q1=q1(Q1,Q2,...,Qn,Q1dot)
のように、先程の変数間の関係に Q の時間微分が入ってくるだけで
困ったことが起こってしまいます。
つまり、このような関係の時間微分をとり Lagrangian のなかの qdot に
代入すると、Q の二階時間微分が関係してくることになり、
Lagrangian が上のように一般化座標とその一階時間微分のみで書けなくなり
方程式の形が変わってしまいます。

Eular-Lagrange の方程式が対応していないこのような変換に対しても
形を変えないものが Hamilton 形式となるのですが、
方針としては変数を増やして時間微分の階数を下げる。
すると、増やした変数の間で
　qi=qi(Q1,Q2,...,P1,P2,...)
　pi=pi(Q1,Q2,...,P1,P2,...)
のような時間微分を含まない変数変換を考えることができる。
といったところでしょうか。
変数を増やして時間微分の階数を下げる方法はいろいろ考えられますが、
Hamilton の方法が最も系統的であったのだと思います。

少し前置きが長くなりましたが、本題に入ります。
この方法では qi,piは一応独立ですが、方程式の本数が増えていますよね。
方程式が qi,pi の関係を指定することになります。
したがって、自由度が増えることにはなっていません。

お礼

早速の御回答ありがとうございました。

ただ、いまいちストンと胸のつっかえが降りませんので、ふたたび質問させていただきたいのですが(^^);;

＞方程式が qi,pi の関係を指定することになります。
＞したがって、自由度が増えることにはなっていません

この方程式は正準方程式と思いますが、正準方程式はHamiltonの変分原理から
導かれ、pi,qiは dpi/dt＝－∂H/∂qi、dqi/dt＝∂H/∂pi(i=1,...,f)の方程式から出てまいります。ただ、この場合piとqiを独立変数として扱っていますが、なぜ独立変数として扱えるかという点がどうも腑に落ちないのです。。。
ご指摘の通り「変数の数を増やして時間微分の階数を下げる」という手法はそんなものかなぁ(^^);と思ったりもするのですが、そう踏み切れるだけの根拠(?)がいまいちスッキリしないものですから。