むずい・・・・

質問

早速なんですが・・・
ａを実数の定数とする。関数f(x)=x^2-|x-a|-a^2＋3a
(1)関数f(x)の最小値をm(a)とするときm(a)を求めよ。
(2)aが-1≦a≦2の範囲を動くとき(1)で求めたm(a)の最大値を求めよ。という問題なんですが、
絶対値が＋か－かで場合分けするのはわかるんですけど、その後がわかりません、（解説が不親切で・・
答えはわかっていますので、解説教えてください。

回答No.2

hinebot

>馬鹿でスイマセン
>(-a^2+4a-1/4)-(-a^2+2a-1/4)=2a
>をなぜするかわかりません。

横から失礼します。
関数f(x)は、x^2 の係数＝１＞０なので、下に凸の放物線です。
従って、定義域が指定されていない場合に最小値となるのは、頂点のときですね。
x≧a　のときと、x＜a のときで場合分けしたわけですが、それぞれの式が違いますよね。
つまり、f(x)のグラフは
x≧a側の放物線とx＜a側の放物線、２つの放物線を重ねた形になります。
２つの放物線を重ねた形なので、頂点が２個考えられるわけです。
なので、どちら側の頂点が下（最小）なのかを調べる必要があります。
-a^2+4a-1/4　は、x≧a側の頂点のy座標
-a^2+2a-1/4　は、x＜a側の頂点のy座標
です。
これらの差をとれば、どちら側が最小かが分かります。
つまり、
(-a^2+4a-1/4)-(-a^2+2a-1/4)=2a≧0 ならば
(-a^2+4a-1/4)≧(-a^2+2a-1/4)なので、x＜a側の頂点が最小。
(-a^2+4a-1/4)-(-a^2+2a-1/4)=2a＜0 ならば
(-a^2+4a-1/4)＜(-a^2+2a-1/4)なので、x≧a側の頂点が最小。
となるわけです。

>あと、それで最小値の範囲がわかるのかわかりません

これは、x≧a側の放物線とx＜a側の放物線の軸の位置関係を考えれば分かります。
x≧a側のグラフの軸は x=1/2
x＜a側のグラフの軸は x=-1/2
都合のいいことにどちらもaを含んでおらず一定です。
つまり、aが何であろうと、常にx≧a側の軸はx＜a側の軸より右側にあることがわかります。
つまり、x≧a側の放物線は、x＜a側の放物線より常に右側に位置します。
これによって、どちらかの頂点がf(x)の最小値であることがいえるわけです。
（もし、位置関係が逆になった場合は、二つの放物線の交点や、境界であるx=aのときに最小となり得ます）

あとは、#1さんが詳しく書かれてますので割愛します。

補足

それと、解説にこんなことが書いてありました
a＜－1/2,-1/2≦a＜0,0≦a＜1/2,1/2≦aのそれぞれの場合のf(x)のグラフが右図のようになるから、
m(a)=-a^2+2a-1/4(a≧0),-a^2+4a-1/4(a＜0)
になると書いてありました、
a＜－1/2,-1/2≦a＜0,0≦a＜1/2,1/2≦a
この場合分けのグラフはなんの意味があるんですか？
２人ともやってなかったのでどうしてなのかなと思いまして、質問します。。

回答No.1

proto

(1)
『グラフの形が解れば少しは簡単になりますが
なかなか式だけではわかりにくいので
とりあえず場合分けをします』
(ア)x-a≧0 すなわち x≧a のとき
　　f(x)=x^2-(x-a)-a^2+3a
　　　　=x^2-x-a^2+4a
　　　　=(x-1/2)^2-a^2+4a-1/4

(イ)x-a＜0 すなわち x＜a のとき
　　f(x)=x^2-(-(x-a))-a^2+3ax＜a
　　　　=x^2+x-a^2+4a
　　　　=(x+1/2)^2-a^2+2a-1/4

『x=aを境に場合分けするので、x=aの左右でグラフを書き分けなければいけません
そうするとaの値によっては谷が２つ出来るのですが、次にその谷のうちどちらが最小値なのかを判別します』

　　(-a^2+4a-1/4)-(-a^2+2a-1/4)=2a
より
a≧0のときf(x)は
x=-1/2で最小値 -a^2+2a-1/4 をとり

a＜0のときf(x)は
x=1/2で最小値 -a^2+4a-1/4 をとる

『-a^2+2a-1/4をとるときx＜aの条件が付きますが
a≧0より、最小値をとるx=-1/2では常にx<aとなります
もう一つの式も同様です』

以上より
　　m(a)=-a^2+2a-1/4(a≧0),-a^2+4a-1/4(a＜0)

(2)
『aが正のとき、負のときについて(1)で式が出ているのであとは平方完成して最大値を求めるだけです』
(ア)0≦a≦2のとき
　　m(a)=-a^2+2a-1/4
　　　　=-(a-1)^2+3/4
よってa=1のとき最大値3/4をとる
『a=1が0≦a≦2の範囲に含まれていることがポイントです』

(イ)-1≦a≦0のとき
　　m(a)=-a^2+4a-1/4
　　　　=-(a-2)^2+15/4
よってa=0のとき最大値-1/4をとる
『a=2は-1≦a≦0の範囲に含まれないのでa=0のときが最大になります、注意しないと間違えます』

以上よりm(a)はa=1のとき最大値3/4をとる

補足

馬鹿でスイマセン
(-a^2+4a-1/4)-(-a^2+2a-1/4)=2a
をなぜするかわかりません。
あと、それで最小値の範囲がわかるのかわかりません
ＰＳでもなんとなくわかってきた気がします。。
　　それ以外はよく理解できましたあと一歩です
　　ご協力お願いします。。