数1 二次関数の場合分けの一部が理解できません…

質問

数1　二次関数の場合分けの一部が理解できません…

a を正の定数として関数f（x）=-x二乗+2x+1
（0≦x≦a）で最大値-最小値=4を満たすような、aの値を定めよ。

問題から、わからないところだけ抽出すると
上に凸の二次関数の軸が x =1 で0≦x≦aのとき、最大値-最小値=4といったときの場合分けで、

1≦a≦2のときです

このとき、もし1=aだと
x=0と2の時が最小値になるはずなのですが、
プリントの答えには最小値はx=0の時となってます。

どういうことか、理解ができません…

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

a = 1の場合、0 ≦ x ≦ 1となるから、x = 2は範囲外となる。

[解答]
左端を0で固定した長さaの仮想的な棒を考える。右端が伸縮する。
f(x) = -x^2 + 2x + 1 = -(x^2 - 2x) + 1 = -(x - 1)^2 + 2
と平方完成できるから、軸：x = 1、頂点：(1, 2)となる。
グラフの形状から、最大値 - 最小値 = 4となるのは、
最大値のy座標が頂点（=2）で、最小値のy座標が-2になるときである。
f(a) = -a^2 + 2a + 1 = -2より、a^2 - 2a - 3 = 0
(a - 3)(a + 1) = 0, a = 3, -1
条件0 ≦ x ≦ aよりa = -1は不適
∴a = 3

お礼

そこを見落としてました…
定義域の外だったんですね、
わかりました、ありがとうございます！

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

「もしa=2だと」のことでしょうか。
a=2の場合、x=0,2の二箇所で最小値をとります。
しかしこの問題では「最大値と最小値の差が4」と書かれており、最小になるときのxの値は問われていません。
よって、「f(1)-f(0)=4」としても「f(1)-f(2)=4」としても同じ結果になりますので、どちらで計算しても答に影響はありません。

お礼

そういうことだったんですか…！！
最大値と最小値の差を求める問題は、
中央の時は、どちらでもいいということになるんですね
わかりました。
ありがとうございます。