三角関数の最大・最小の問題です

質問

関数f(x)=sin^2X＋asinX＋2 (-90°≦X≦90°)について考える。
但し、aは正の定数とする。
(1) a=1のとき、関数f(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2) 関数f(x)の最小値が-3となるような定数aの値を求めよ。

このような問題で(1)はよいのですが、(2)についてです。
関数f(x)は頂点の座標が(-a/2,-a^2/4＋2)から、場合分けを考え、
答えでは -a/2<-1 , -1≦-a/2<0 の２つのみの場合分けなのです。
私は、-a/2<-1 , -1≦-a/2<1 , -a/2>1 の３つの場合分けを考えたのですが、これではいけないのでしょうか？
どこを間違えているのか教えて頂きたくお願申し上げます。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

f(x)=sin^2(x)＋a*sin(x)＋2 (-90°≦x≦90°)
をそのまま2次関数として扱ってはいけませんね。
t=sin(x), (-1≦t≦1)と置換し、f(x)を
g(t)=(t^2)+a*t+2
に対応させて考えれば、2次関数（y=g(t)は放物線）として扱って良いですね。
ただし、g(t)のtの変域は-1≦t≦1となります。

(2)について
g(t)=t^2 +a*t+2={t+(a/2)}^2 +2-(a^2)/4
tの範囲が-1≦t≦1ですからこの範囲で、
放物線y=g(t)の対称軸t=-a/2がどこにあるかで
最小値が変わります。

(i)　-a/2≦-1の時,つまり, a≧2の時
　最小値はg(-1)=3-a≦1
　最小値3-a=-3となる時のaは a=6 です。
(ii) -1≦-a/2≦1の時,つまり，-2≦a≦2の時
　最小値はg(-a/2)=2-(a^2)/4,
　この最小値は場合のaの範囲では、1≦最小値≦2となって条件の最小値-3にはなりえません。つまり、この(ii)の場合は条件を満たしません。
(iii) -a/2≧1の時,つまり, a≦-2の時
　最小値はg(1)=3+a≦1
　最小値3+a=-3となる時のaは a=-6 です。
となります。
（場合分けの等号は上下のどちらかに含めて考えれば良いです。）
最終的には答の
＞答えでは -a/2<-1 , -1≦-a/2<0 の２つのみの場合分けなのです。
でいいことは上の解析から分かりますね。

場合分けとしては
＞私は、-a/2<-1 , -1≦-a/2<1 , -a/2>1 の３つの場合分けを考えたのですが、これではいけないのでしょうか？
の場合分けでいいですね。
この場合分けの「-1≦-a/2<1」では最小値　2-(a^2)/4≧1となるため題意の-3となり得ません。この場合の範囲では、条件を満たすaの値が存在しないだけです。

お礼

有難うございました。

回答No.3

take_5

＞私は、-a/2<-1 , -1≦-a/2<1 , -a/2>1 の３つの場合分けを考えたのですが、これではいけないのでしょうか？

これが最小値だったから良いけれど、最大値を求める場合もありますから、本来的には4つの場合わけを考えた方がbetterだと思いますよ。

（1）-a/2≦-1の時
（2）-1≦-a/2≦0の時
（3）0≦-a/2≦1の時
（4）-a/2≧1の時

その上で、解答のように纏めるのは良いんですが。。。。。

お礼

有難うございました。

回答No.1

debut

「但し、aは正の定数」というからじゃないですか？
だから -a/2が正になるところをやっても意味がない。

お礼

有難うございました。