数学II 導関数の応用

質問

数学II 導関数の応用 範囲内の最大値と最小値(場合分け)

関数f(x)=x^3-3x^2+1の0≦x≦aにおける最大値と最小値を求めなさい。
ただし，a>0とする。

という問題で，まず関数f(x)=x^3-3x^2+1を微分し，増減表で極値を求めてグラフを描き，0≦x≦aの範囲における最大値と最小値を求めました。
しかし，aの場合分けが分からず，結果として最終の答えまで辿りつけていません。

教えてください。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> 0≦x≦aの範囲における最大値と最小値を求めました。
> しかし，aの場合分けが分からず，結果として最終の答えまで辿りつけていません。

aの場合分けが出来なければ、 0≦x≦aの範囲における最大値と最小値は求まらないはずです。
なので、『 0≦x≦aの範囲における最大値と最小値』が求まった時点で、aの場合分けをしているはずなのですが。
もしよろしければ、どんな最大値、最小値が求まったのかを教えてくれませんか？

aの場合分けのやり方ですが、
aを0からスタートさせて、どんどん大きくしていくことを考えていきます。
そうすると0 ≦ x ≦ aの定義域がどんどん広がっていきます。
その広がっていく定義域内で、どんな時に状況が変化するのかを考えれば良いです。

例えば、0 < a < 2の場合、定義域は極小値のx = 2のポイントを含みません。
グラフもずっと減少し続けるだけなので、最大値は左端のf(0)、最小値は右端のf(a)となります
（グラフを描く時、x軸は右側を正としておきます。ここででてくる右、左という方向も、それに合わせて考えて下さい）。

aが2を超えると、減少していたグラフが増加し始めます。
ここで状況が変わるので、場合分けを行います。
この後グラフは増加していくだけなので最小値はf(2)で固定されます。

最大値に関してはしばらくf(0)のままですが、定義域を広げていくと(aを増やしていくと)
そのうち右端の値(f(a)のことです)がf(0)の値を追い抜きます。
この瞬間最大値はf(0)からf(a)に変わります。
この追い抜くポイントで状況が変わるので、ここでも場合分けします。

回答No.2

info22

グラフが描けたなら分かるはずですが、
本当にグラフが描けていますか？

ヒント）
0<a≦2,2≦a<3,3≦aで場合分けして下さい。

分からなければ、やった所までの解答を補足に書いて、その先の詰まった所を質問して下さい。