数学の問題(超超超難しい)

質問

この問題を考えた過程を省略しないで丁寧に教えてください！
特に(3)は詳しく教えてください!

※xの二乗をx^2　絶対値を|－１５|とする

ａを定数として、
関数ｆ(x)＝x^3－３x^2＋９|x－ａ|＋１
とする。

(1)x＞ａの範囲でｆ(x)は増加することを示せ。
(2)実数全体でｆ(x)が増加するためのａの条件を求めよ。
(3)x≧－１の範囲でのｆ(x)の最小値をＭとするとき、Ｍをａを用いて示せ。
(4) (3)の最小値Ｍが－３となるａを求めよ。

回答No.1

Kules

一体何をもって「超超超難しい」と言ってるんだろうと思ってたら
(3)が若干めんどくさそうですね。

とりあえず考える過程は書きますが、答えは自分で計算して下さい。
まず、問題を見渡して感じることを書きます。
・絶対値か～絶対値の中身が正か負かで場合分けするんだろうなあ。
・３次関数ってことは微分して増減表とか書くんだろうなあ。
・関数の最小値ってのは範囲の端（右端か左端）か極小値しかなりえないよな。３次関数ってことは極小値もあるだろうから、それが範囲に入っているかどうかが大事なんだろうな。

問題に行きます。
(1)f(x)が増加することはf'(x)がx>aで0以上ってことが言えたらいいだろうな。x>aなら絶対値は問題なく外せるし、絶対値外して微分して因数分解だろうな。

(2)(1)でx>aの時に増加することはわかってるから、x<aの時を考えればいいだろうな。
x<aの時も絶対値の外し方は１通りしかないし、それで微分して因数分解したら、f'(x)が負になるところがあるんだろうな。ということは、f(x)が単調減少するところがPからQだとして、Pより左側にaがあれば単調減少の部分がなくなるな
（イメージすれば、aが十分大きいとき（Qより大きい）x<Pで単調増加、P<x<Qで単調減少、Q<xで単調増加だから、aばPより小さければずっと単調増加になるな）

(3)単調増加している時は範囲の左端が最小値なので、a<Pなら最小値はx=-1の時だな。
aがPとQの間だと、x<Pで単調増加、P<x<aで単調減少、a<xで単調増加だから、最小値はx=aの時だな。あ、ただaと-1の位置関係によってはこうならないかもしれないな（a<-1ってのがないか考慮する必要があるな）Q<aならQが極小値なので、最小値はx=Qの時だな。

(4)(3)で求めた式からaの範囲ごとに最小値を出して、その中の最小値を出せばいいか。ただ、もうちょっと簡単に出せるかもな。

ここまでが手を一切動かさずに私が考えたことです。実際にこれで計算できるかどうかは後で確かめることになります。
ただ、（これはちょっとだけ答えになってしまうのですが）ちょこっと計算してみたらP=-1となりそうなので、(3)の議論は少し楽になりそうです。

参考になれば幸いです。