二次関数の問題です

質問

関数f(x)=x^2-2ax-a^2-a+2 (aは実数の定数)の0≦x≦2の範囲においての
最小値と、常にf(x)≧0であるようなaの値の範囲と、常にf(x)≦0であるようなaの値の範囲を求めよ。

上の問題の回答と解説をどなたかお願いします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

＞f(x)=x^2-2ax-a^2-a+2=(x-a)^2-2a^2-a+2だから
f(x)のグラフは頂点(a,-2a^2-a+2)、下に凸の二次曲線。
最小値は0≦a≦2のときは-2a^2-a+2・・・答１
a＜0のときはf(0)=-a^2-a+2・・・答２
2＜aのときはf(2)=-a^2-5a+6・・・答３
常にf(x)≧0であるようなaの値の範囲は最小値≧0であれば
よいから、0≦a≦2のときは-2a^2-a+2≧0から
(-1-√17)/4≦a≦(-1+√17)/4、0≦a≦2との共通範囲で
0≦a≦(-1+√17)/4・・・・・(1)
a＜0のときはf(0)=-a^2-a+2≧0から-2≦a≦1
a＜0との共通範囲で-2≦a＜0・・・・・(2)
2＜aのときはf(2)=-a^2-5a+6≧0から-6≦a≦1
2＜aと共通範囲無し。よって
(1)(2)から-2≦a≦(-1+√17)/4・・・答
常にf(x)≦0であるようなaの値の範囲は最大値≦0であれば
よいから、まず最大値を求めると
1≦aのときはf(0)=-a^2-a+2
a＜1のときはf(2)=-a^2-5a+6
最大値≦0の範囲は
1≦aのときはf(0)=-a^2-a+2≦0からa≦-2、1≦a
1≦a・・・・・(4)
a＜1のときはf(2)=-a^2-5a+6≦0からa≦-6、1≦a
a≦-6・・・・・(5)
(4)(5)よりa≦-6及び1≦a・・・答

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

KEIS050162

下に凸の二次関数で、ある区間が f(x)　≦ ０ （ｘ軸の下）ということなので、単純に、

f(0)≦0、f(2)≦0を満たすａということで良いのでは？
（軸が 0≦x≦2のどこにあっても、条件は同じ）

f(0) ≦0　から、a ≦-2、1≦a
f(2) ≦0　から、a ≦-6、1≦a

なので、a ≦-6、1≦a

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

shuu_01

まだ、誰からも回答がないのは、「難しいから」でなく、「面倒くさいから」です

f(x) ＝ x^2-2ax-a^2-a+2
　　＝（xーa）^2 ー2a^2ーa＋2

ですので、頂点（というか１番 低い点なので谷底）が
（a, 2a^2ーa＋2）のグラフであることはすぐわかります

でも、場合分けして、一々計算するのが面倒臭いです

そこで、ズルして grape で y ＝ x^2-2ax-a^2-a+2 として、
パラメータ a を少しずつずらしてみると
（それでも面倒くさいけど）以下の解答になります

（１） a ≦ 0 の時
　　　　最小値　f(0)、最大値　f(2)
　　１）a ≦ ー6 の時　常に f(x) ≦ 0
　　２）ー6 ＜ a ＜ ー2 の時、プラスもマイナスもある
　　３）ー2 ≦ a の時　常に f(x) ≧ 0

（２） 0 ≦ a ≦ 1 の時
　　　　最小値　f(a)、最大値　f(2)　　
　　２）0 ＜ a ＜ （√17 ー 1）/4　の時、常に f(x) ≧ 0
　　３）（√17 ー 1）/4 ≦ a の時、プラスもマイナスもある

（３） 1 ≦ a ≦ 2 の時
　　　　最小値　f(a)、最大値　f(0)　　
　　　　常に f(x) ≦ 0

（４）2 ≦ a の時
　　　　最小値　f(2)、最大値　f(0)　　
　　　　常に f(x) ≦ 0

お礼

回答ありがとうございます。