二次関数

質問

問題
関数f(x)=x＾2-4x＋4の定数域がp-1≦x≦p＋1における最小値をm,最大値をMとおいて

（１）Mをpであらわす

(i)
P≦2
(ii)
2<P

場合分けの範囲の求め方がわかりません。

どうして、このような範囲がきまるのでしょうか？

お願いします

回答No.3

kony0 · ベストアンサー

とりあえず、範囲のある２次関数の最大・最小を考えるときに、
1.軸が範囲外（右）にある
2.軸が範囲内（右寄り）にある
3.軸が範囲内（左寄り）にある
4.軸が範囲外（左）にある
ときを考えて、下に凸（２次の係数が正）の場合は、
1.最大値は範囲の左端、最小値は範囲の右端でとる
2.最大値は範囲の左端、最小値は軸（頂点）でとる
3.最大値は範囲の右端、最小値は軸（頂点）でとる
4.最大値は範囲の右端、最小値は範囲の左端でとる
（上に凸（２次の係数が負）の場合は、「最大値」「最小値」が逆転）
というのを、絵的に叩き込むしかないでしょうね。話はそれからです。（というより、上記ですべてです）
参考書とか見ると、そういう絵が並んで書かれていると思います。

上記を踏まえて・・・

最大値の議論を行いたい場合は、要は軸が範囲の
・範囲外（右）or範囲内（右寄り）にある
・範囲外（左）or範囲内（左寄り）にある
に場合わけできることがわかり、それが質問のとおりの場合わけに他なりません。

#1さんが、「区間中央に目をつける」というのも、上記を纏めて言っておられるのです。

・・・最小値の議論なら、軸が範囲の
・範囲外（右）にある
・範囲内にある
・範囲外（左）にある
で場合わけですね。

あとは、等号は適切につけてください。これは、絵的に場合わけがつかめていれば、造作も無いことです。

・・・同じ系統の質問が多いように見受けられますが、ある質問の回答から、他の問題に応用できるような考え方を抽出するよう、心がけるようにされるとよろしいのではないでしょうか？
「ある問題の回答がわかった」では中途半端で、「ある問題の回答の考え方が読み取れた」を目指してほしいし、そのための補足ならいろんな人がつけてくれると思いますが、「(1)と同じようにやれば(2)も解けます」と言われて「(2)がわかりません」では補足してもらえません。（仮に補足してもらえても、「その問題の回答」を教えてもらえるだけで、今後質問者さんが自分で考えに至れるような“考え方”の回答はもらえないと思います。）そう言う意味で、今回の「どうして区間中央に注目するのですか？」というのは、非常によい質問と思います！

回答No.2

rakugo01

与関数を変形すると、下記になりますね。

f(x) = (x-2)^2

これは、x=2で最小値が0となる下に凸の放物線です。即ち、
言葉を換えて表現すると「x=2を中心にして線対称な放物線」と
言うことも出来ますね。・・・[あ]

これがキーポイントです。

定数域 p-1≦x≦p＋1 の下限(p-1)が2よりも大きい場合、与関数は
単純増加となるのでf(p+1)が最大値です。逆に、上限(p+1)が2より
小さい場合には、単純減少なのでf(p-1)が最大値です。

それでは、その間を考えてみましょう。つまり、p-1≦2≦p＋1 と
いう関係が成り立つ場合です。この場合、最小値は必ずf(2)ですね。
∵[あ]に書いた通り、与関数はx=2で極小値(=最小値)を取るが、
定数域に2が含まれているため。

最大値は、f(p-1)とf(p+1)のどちらが大きいかに掛かってきます。
そこで、D=f(p-1)-f(p+1) を計算してみましょう。

D= ((p-1)-2)^2 - ((p+1)-2)^2 = (p-3)^2 - (p-1)^2 = -4p+8

ここで、D≦0とD＞0ということで場合分けすれば良いのです。
ちなみに、D=0の場合というのは、f(p-1)とf(p+1)が全く同じ値、
即ち、最大値が２つある場合になります。

ちょっとくどいですが、おわかり頂けたでしょうか？

補足

参考書によると
((p-1)＋(p＋1))/2=pとなるとかいてあるのですが

どうして中心の値を出すかわかりません

それから、
p≦2,2<pになることもわかりません。

回答No.1

ishiatsu

区間の中央と頂点の軸の位置がキーです。
区間の中央と頂点の軸が一致しているところを想像して下さい。
p-1≦x≦p＋1の区間でグラフは軸で左右対称となり最大値は
x=p-1、x=p＋1の両端（ともに同じになります）でとります。
これは”区間の中央”＝”軸”のときでp=2のときです。
この状態から区間を少しだけ左側に動かして下さい。左端で最大値をとることになります。左端が右端より大きくなっていますかからね。これは「”区間の中央”＜”軸”、すなわち、p＜2」という状態です。
同様に
左右対称の状態から区間を少しだけ右側に動かして下さい。右端で最大値をとることになります。右端が左端より大きくなっていますかからね。これは「”区間の中央”＞”軸”、すなわち、p＞2」という状態です。
ちなみにp=2は(i) 、(ii) どちらに含めても構いません。

補足

すいません。
よくわかりません。

もうすこし詳しくおしえてもらってもいいですか？
区間中央がどうして関係しているのですか？

ごめんない