無限級数の和と公比

質問

Σ[n=0,∞]1/3^n ( Σの下に0、上に∞が書いてありました。)
は、初項1、公比1/3、となっているのですが、

Σ[n=0,∞]1/3^(n-1)が初項1、公比1/3だと思います。
自分の考えの間違いを指摘してください。
お願いします。

回答No.3

mnakauye

こんばんは。

数学的に正しいことは、2つの回答のとおりで、
info222さんのものが簡潔に説明されています。

私が感じたのは、ひょっとしたらあなたは、
「初項というのは、n=1　の項のことだ。」
と勘違いなさっているのではないか。
ということです。

初項というのは文字通り最初の項のことですから、
この場合は、　n=0　の項なので、他の方が回答されているとおりです。

上の勘違いでなければ、余計なことでしたが・・・・・

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.2

bran111

あなたの混乱はもっともなところで、例えば等差数列は下記において
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97

「初項をa1、項差をdとすると第n項a(n)は
　　　　a(n)=a1+(n-1)d
で与えられる。」
という説明がなされており、n≧1を暗黙裡に前提しており
n=0,a(0)=a1-dはout of scopeになっています。
従って
　a(n)=1/3^n
においてn=0を持ち込むこと自体がルール違反に見えてもおかしくありません。

あなたは多分初項=a(1)と思っていたと思います。しかしa(0)が定義されている場合、
初項=a(0)とするのが通例です。つまり
　　Σ[n=0,∞]1/3^n
と書いてあった場合はn=0が定義されている、従って1/3^(0)=1が初項になります。

厳密には第0項とか第1項とかいうべきです。ちなみに第-2項なんてのも
出会ったであったことがあります。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.1

info222_

>Σ[n=0,∞]1/3^n
=1/3^0+1/3^1+1/3^2+・・・
=1+1/3+(1/3)^2+・・・
なので
>>は、初項1、公比1/3、となっているのですが、
これは正しい。

>Σ[n=0,∞]1/3^(n-1)
とすると
=1/3^(-1)+1/3^0+1/3^1+1/3^2+・・・
=3+1+1/3+(1/3)^2+・・・
となり、初項3、公比1/3となります。したがって
>が初項1、公比1/3だと思います。
とはなりません。
なので、Σ[n=0,∞]1/3^(n-1)　は
間違いです。
なお、
Σ[n=1,∞]1/3^(n-1)
ならΣ[n=0,∞]1/3^n と同じ無限級数を表します。

自分の考えの間違いを指摘してください。

お礼

具体的な計算、ありがとうございます。