極限の問題なのですが、、、教えてください!!

質問

各項が正である数列｛an}、｛ｂｎ｝に対し、隣り合う２辺の長さがan,bnである長方形
の面積をSn、周の長さをLnとする。（ｎ=１，２，３、、、）

（１）｛an}が初項１、公比１/２の等比数列、｛ｂｎ｝が初項１、公比１/３の等比数列
であるとき∑（上が∞、下がｎ=１）Sn　　、∑（上が∞、下がｎ=１）Lnを求めよ。

（２）an=１/√（ｎ+１）+√ｎ　、ｂｎ=√（ｎ+１）+√ｎ/ｎ（ｎ+１）　（ｎ=１，２，３、、、、）
のとき、∑（上が∞、下がｎ=１）Sn、∑（上が∞、下がｎ=１）Lnの
収束、発散を調べ、収束するときはその和を求めよ。

（２）が特に分かりません、、、、。
詳しい解説をよろしくお願いします!!

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

(1)
an=1/2^{n-1}
bn=1/3^{n-1}
Σ_{n=1～∞}Sn
=Σ_{n=1～∞}(an)(bn)
=Σ_{n=1～∞}1/6^{n-1}
=1/(1-1/6)
=6/5

Σ_{n=1～∞}Ln
=2Σ_{n=1～∞}(an+bn)
=2Σ_{n=1～∞}(1/2^{n-1}+1/3^{n-1})
=2{1/(1-1/2)+1/(1-1/3)}
=2(2+3/2)
=7

(2)
an=1/{√(n+1)+√n}
bn={√(n+1)+√n}/{n(n+1)}
のとき
Σ_{n=1～∞}Sn
=Σ_{n=1～∞}(an)(bn)
=Σ_{n=1～∞}[1/{n(n+1)}]
=Σ_{n=1～∞}{(1/n)-1/(n+1)}
=1

∀K>0に対して
→∃n_0>(K+1)^2
∀m>n_0
↓
Σ_{n=1～m}Ln
=2Σ_{n=1～m}(an+bn)
≧2Σ_{n=1～m}an
=2Σ_{n=1～m}1/{√(n+1)+√n}
=2Σ_{n=1～m}(√(n+1)-√n)
=2[√(m+1)-1]
>K
↓
Σ_{n=1～∞}Ln=∞は発散する

回答No.2

sunflower-san

No.1の補足です。

(2) anがあまりに大きいので、念のため確認なのですが、an=1/(√（ｎ+１）+√ｎ)ではないですよね？
　この場合でもan > 1/(√(n+1)+√(n+1))=1/2×1/√(n+1) を使って全く同様の議論が出来ます。

補足

ごめんなさい！
an=１/（√（ｎ+１）+√ｎ）です。
書き方が分かりづらくて申し訳ありません・・

回答No.1

sunflower-san

まず定義よりSn=an×bn, Ln=2{an+bn}です。

(1) an=(1/2)^n, bn=(1/3)^n よりSn=(1/6)^n, Ln=2{(1/2)^n+(1/3)^n }だから
　ΣSn=1/6+(1/6)^2+・・=1/(6-1)=1/5
　ΣLn=2{(1/2+(1/2)^2+・・)+(1/3+(1/3)^2+・・)}=2{1/(2-1)+1/(3-1)}=3

(2) まずΣLnが収束ないことを説明します。いま、あきらかにLk=2ak+2bk>2ak>akより

L1+L2+L3+・・＋Ln
>a1+a2+a3+・・+an
=(1/1+√2)+(1/√2+√3)+・・+(1/√n+√(n+1))
≧(1/√n+√2)+(1/√n+√2)+・・+(1/√n+√2)
=n/√n+n√2=√n+n√2

n→∞のとき右辺はいくらでも大きくなるので、左辺>右辺とあわせて、ΣLkが発散することが分かりました。

次にΣSnも収束しないので、それを説明します。
いま、an>1/√(n+1), bn>1/√(n+1)よりSn=an×bn>1/(n+1)なので

S1+S2+・・+S(2^n-1)
=S1+{S2+S3}+{S4+S5+S6+S7}+・・+{S(2^(n-1)+・・+S(2^n-1)}
>1/2+{1/3+1/4}+{1/5+1/6+1/7+1/8}+・・+{1/(2^(n-1)+1)+・・+1/(2^n)}
≧1/2+{1/4+1/4}+{1/8+1/8+1/8+1/8}+・・+{1/(2^n)+・・+1/(2^n)}
=1/2+2/4+4/8+・・+(2^(n-1))/(2^n)
=1/2+1/2+1/2+・・+1/2
=n/2

今回もn→∞のとき右辺がいくらでも大きくなるので、左辺>右辺とあわせて、ΣSkが発散することが分かりました。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。

詳しく分かって役に立ちました！