(等差数列×等比数列)の和の求め方

質問

数列{a_n}は初項1、公差2の等差数列、数列{b_n}は初項1、公比3の等比数列とする。このとき、Σ[k=1→n]{a_k}{b_k}を求めよ。という問題です。

解説では、{a_n}=2n-1、{b_n}=3^(n-1)で、S=Σ[k=1→n]{a_k}{b_k}とおき、Sと3Sを計算すると
-2S= 1 + 2*3 + 2*3^2 +..........+ 2*3^(n-1) - (2n-1)*3^n
=1 + { 2 * 3[3^(n-1)] / (3-1) } - (2n-1) * 3^n
とありますが、1 + { 2 * 3[3^(n-1)] / (3-1) } - (2n-1) * 3^nは一体何を公式に当てはめて出したのでしょうか？

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

S=1*3^0+3*3^1+5*3^2+7*3^3+・・・・・+(2n-1)*3^(n-1)
3S= +1*3^1+3+3^2+5*3^3+・・・・・・・・・・・・・+(2n-1)*3^n

両辺引き算すると、
-2S=1+2*3^1+2*3^2+2*3^3+・・・・・・+2*3^(n-1)-(2n-1)*3^n

第２項から第（ｎ-1）項までをよく見てください。
2でくくれます。
そうすると、3^1+3^2+3^3+・・・+3^(n-1)
がカッコの中に残り、
これは初項は3で公比が3の等比数列の和だから（項数はｎ-1項であることに注意）

等比数列の和の公式をここに適用すればまとまります。

お礼

理解できました。
ありがとうございます。

回答No.3

178-tall

「公式」じゃなく、S と 3S の各項を並べて書き、3S の各項をひとつずらしてから、項ごとの減算結果を書いてるようですね。

　　S 項　　-　　 3S 項
　　----　　　　　-----
　　1*3^0　　　　　　↓ 一段ずらす
　　3*3^1　　　-　3^1　　= 2*3^1
　　5*3^2　　　-　3*3^2　= 2*3^2
　　　…　　　　　　…
　(2n-1)*3^(n-1) - (2n-3)*3^(n-1)　　= 2*3^(n-1)
　　　φ　　　　-　　(2n-1)*3^n　　　= -(2n-1)*3^n

サンドゥイッチの中身が「等比数列」になって、公式利用可になる。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

Tacosan

なんというか, 本当にそう書いてあるんだろうかと疑問に思ってしまう. だって,
1 + { 2 * 3[3^(n-1)] / (3-1) } - (2n-1) * 3^n
の [] って意味ないよね.

補足

誤表記失礼しました。
1 + { 2 * 3[3^(n-1)] / (3-1) } - (2n-1) * 3^nではなく、
1 + { 2 * 3[3^(n-1) - 1] / (3-1) } - (2n-1) * 3^nでした。