等比数列の和

質問

等比数列の和の公式について教えてください。
等比数列の和を以下の公式で学びましたが公式の意味が理解できません。
初項×（（1－公比n乗）／（1－公比））

まず、分母の「1－公比」（1から公比を引いた値）は何を指しているのでしょうか？
また「1－公比n乗」を「1－公比」で割った結果は何を指しているのでしょうか？

ネットでも調べましたが理解できず、どうしてこのような公式なのかをわかりやすく教えて頂けないでしょうか？

回答No.3

kiha181-tubasa · ベストアンサー

教科書の説明と重複するかも知れませんが，まず自分でこの公式を導き出す（証明する）ようになると意味が良くわかるでしょう。

（１）r≠1の場合
初項がa,公比がrの等比数列の第n項までの和をS<n>とする
と
S<n>=a+ar+ar^2+ar^3+……+ar^(n-1)　……①
であることは理解できますね。
①の両辺にrをかけますと
rS<n>=r(a+ar+ar^2+ar^3+……+ar^(n-1))
rS<r>=ar+ar^2+ar^3+ar^4+……+ar^(n-1)+ar^n　……②
（※補足）
①で，ar^(n-1)の１つ前の項は，ar^(n-2)ですね。つまり
S<n>=a+ar+ar^2+ar^3+……+ar^(n-3)+ar^(n-2)+ar^(n-1)
となっているのです。その両辺にrをかけたので
rS<r>=ar+ar^2+ar^3+ar^4+……+ar^(n-1)+ar^n
となるのです。（※補足おわり）

①-②を計算します。次のように並べて書くをわかりやすいでしょう。
S<n>=a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+……+ar^(n-1)　　　　　……①
rS<r>=　ar+ar^2+ar^3+ar^4+……+ar^(n-1)+ar^n　……②
――――――――――――――――――――
S<n>-rS<n>=a-ar^n
S<n>(1-r)=a(1-r^n)

r≠1あるから，この両辺を1-rで割ることができて
S<n>=a(1-r^n)/(1-r)
となるのです。
この一連の説明が自力で書けるようになると良いですね。

なおr=1の場合は
S<n>=a+a+a+……+a　（n個のaの和）
=na
となります。

補足

ありがとうございます。
確かに以下の式で考えてみると、公式の成り立ちが理解しやすいですね。
S<n>=a+ar+ar^2+ar^3+……+ar^(n-1)
rS<n>=r(a+ar+ar^2+ar^3+……+ar^(n-1))

回答No.2

SI299792

公比とは、前の数字と次の数字の比です
ｎは数字の個数です。

例えば、
1 2 4 …、なら公比=2です。
ここで、1+2+4 を計算します。
初項=1、公比=2、ｎ=3
公式に当てはめると
1×((1－2^3)／(1－2))=7

2 6 18 54 …、なら公比=6÷2=3 です。
ここで、2+6+18+54 を計算します
初項=2、公比=3、ｎ=4
公式に当てはめると
2×((1－3^4)／(1-3))=80

このように当てはめて計算します。
しかし、この公式途中がマイナスになるので計算しにくい。
初項×（（公比n乗－1）／（公比-1））
で計算した方が計算しやすいです。

補足

わかりやすくありがとうございました。

回答No.1

Higurashi777

下記のリンクがわかりやすいかと思われます。
https://www.studyplus.jp/397

「何を指している」という考え方で理解しようとするとわかりにくいですね。
等比数列の和をSとおいた場合に計算した結果、そのSに公比rを掛けた結果の差を取って、中間項をすべて消す、という方法を取っています。
そういった計算をすることで（1-公比）（リンク先は「公比-1」になっていますが、分母分子に-1をかければ同じことです）という項目が出てきます。

以上、ご参考まで。

補足

ありがとうございます。
教えて頂いたサイトの式で考えてみると、公式の成り立ちが理解しやすいですね。