数列とその和

質問

・一般項が次の式で表わされる数列の初項から第n項までの和を求めよ。
　　　　　　n(n+2) 分の 1
　　という問題を解くのですが…

答えは
4(n+1)(n+2) 分の n(3n+5)

になるんですが、何故こうなるのか分かりません
今までやっていた第n項までの和を求める問題は、初項と公差か公比さえ分かれば公式に代入して解けたのですが、何をすれば良いのかさっぱりです。
詳しい解き方をよろしくお願いします。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#4です。
>お手数ですが途中経過お願いします。申し訳ありません。

A#4で途中計算は全部書いてあります。
(A#3の解答でも同じで途中式はないですね。）

>=(1/2){(1/1)+(1/2)-1/(n+1)-1/(n+2)} …(●)
>= ←　計算すれば答えの式が出てきますよ。
=n(3n+5)/{4(n+1)(n+2)}
と答えの式になるだけで間の途中計算はありません。

>分母が2のままになってしまいました。
あなたの計算式が書いてないので補足に書いていただけば間違い箇所が
分かるかと思います。
多分(●)の式の最初の(1/2)に相当する係数の掛け忘れかと思います。
(1/2)倍すれば、分母の4が出てくるかと思います。

補足

(1/2){(1/1)+(1/2)-1/(n+1)-1/(n+2)}
=(1/2){(3/2)-1/(n+1)-1/(n+2)}
=(1/2){3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}
=(1/2){3n^2+9n+6-2n-4-2n-2}
=n(3n+5)/2

何度やってもこれです。
更に何かけるんですか？

回答No.6

info22

#4,#5です。
A#5の補足質問の解答
>何度やってもこれです。
>更に何かけるんですか？
やはり単純な計算ミスで計算が少しお粗末です。
途中で分母を省略しながら、等号で繋いで式を変形していく計算の
雑さが計算ミスをする原因でしょうね。

>(1/2){(1/1)+(1/2)-1/(n+1)-1/(n+2)}
>=(1/2){(3/2)-1/(n+1)-1/(n+2)}
>=(1/2){3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)} ←分母を忘れていませんか？
=(1/2){3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}/{2(n+1)(n+2)}

>=(1/2){3n^2+9n+6-2n-4-2n-2} ←分母を忘れていませんか？
=(1/2){3n^2+9n+6-2n-4-2n-2}/{2(n+1)(n+2)}
={3n^2+9n+6-2n-4-2n-2}/{4(n+1)(n+2)}
=(3n^2+5n)/{4(n+1)(n+2)}

>=n(3n+5)/2 ←　×　分母（分母の係数2を含む）がないです。
=n(3n+5)/{4(n+1)(n+2)}

アドバイス）
折角解答を出しても計算ミスをして、それに気か付かないことが問題です。テストなどで失敗しないために、このようなミスを無くすことが大切ですよ。

お礼

気づけなかった事に後悔しています。
もっと慎重に解くように心がけます。
何度もありがとうございました。

回答No.4

info22

a[n]=1/{n(n+2)}=(1/2)[(1/n)-{1/(n+2)}]
初項から第n項までの和
=a[1]+a[2]+a[3]+ ... +a[n-1]+a[n]
=(1/2){(1/1)-(1/3)+(1/2)-(1/4)
+(1/3)-(1/5)+(1/4)-(1/6)
+(1/5)-(1/7)+(1/6)-(1/8)
+ ...
+1/(n-3)-1/(n-1)+1/(n-2)-1/n
+1/(n-1)-1/(n+1)+(1/n)-1/(n+2)}
=(1/2){(1/1)+(1/2)-1/(n+1)-1/(n+2)}
= ←　計算すれば答えの式が出てきますよ。

補足

分子は3n^2+5nと導き出せましたが分母が2のままになってしまいました。
お手数ですが途中経過お願いします。申し訳ありません。

回答No.3

inara1

ANo.2 の後半が間違っていました。

したがって、a[k] から a[n] まで足し合わせたもの S[k～n] は、上の式を見れば、1/k と 1/( k + 1 ) と 1/( n + 1 ) と 1/( n + 2 ) の項以外は消えてしまうので
　　　S[k～n] = a[k] a[k+1] + ・・・ + a[n]
　　　　　　　　= ( 1/2 )*{ 1/k + 1/( k + 1 ) - 1/( n + 1 ) - 1/( n + 2 ) }
となります。

k = 1 のときが問題の和ですから
　　　S[1～n] = ( 1/2 )*{ 1/1 + 1/( 1 + 1 ) - 1/( n + 1 ) - 1/( n + 2 ) }
　　　　　　　　= ( 1/2 )*{ 3/2 - 1/( n + 1 ) - 1/( n + 2 ) }
　　　　　　　　= n*( 3*n + 5 )/{ 4*( n + 2)*( n + 1) }
となります。

回答No.2

inara1

一般項は以下のように変形できます。
　　　a[n] = 1/{ n*(n+2) } = ( 1/2 )*{ 1/n -1/( n+2 ) }
そうすると
　　　a[k] 　 = ( 1/2 )*{ 1/k 　　　 　- 1/( k + 2 ) }
　　　a[k+1] = ( 1/2 )*{ 1/( k + 1 ) - 1/( k + 3 ) }
　　　a[k+2] = ( 1/2 )*{ 1/( k + 2 ) - 1/( k + 4 ) }
　　　a[k+3] = ( 1/2 )*{ 1/( k + 3 ) - 1/( k + 5 ) }
　　　・・・
　　　a[n-3] = ( 1/2 )*{ 1/( n - 3 ) - 1/( n - 1 ) }
　　　a[n-2] = ( 1/2 )*{ 1/( n - 2 ) - 1/n }
　　　a[n-1] = ( 1/2 )*{ 1/( n - 1 ) - 1/( n + 1 ) }
　　　a[n] 　 = ( 1/2 )*{ 1/n 　　　　 - 1/( n + 2 ) }
と書けます。したがって、a[k] から a[n] まで足し合わせたもの S[k～n] は、上の式を見れば、1/k と 1/( k + 1 ) と 1/( n - 1 ) と 1/( n + 2 ) の項以外は消えてしまうので
　　　S[k～n] = a[k] a[k+1] + ・・・ + a[n]
　　　　　　　　= ( 1/2 )*{ 1/k + 1/( k + 1 ) + 1/( n - 1 ) - 1/( n + 2 ) }
となります。

k = 1 のときが問題の和ですから
　　　S[1～n] = ( 1/2 )*{ 1/1 + 1/( 1 + 1 ) + 1/( n - 1 ) - 1/( n + 2 ) }
　　　　　　　　= ( 1/2 )*{ 3/2 + 1/( n - 1 ) - 1/( n + 2 ) }
　　　　　　　　= n*( 3*n + 5 )/{ 4*( n + 2)*( n + 1) }
となります。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

部分分数分解では？