等比数列の級数

質問

1、11、111、1111、・・・という数列の一般項と初項から第ｎ項までの和Snを求める問題で、一般項は初項1、公比10の等比数列の和となっていることから、一般項が1/9（10^n-1)であることがわかりますが、
　　 n
Sn=Σ1/9(10^k-1)
　 k=1
式の展開で1/9｛10（1-10＾n)/(1-10)-n}と展開されているのですが、
分子の最初の10は公式から考えれば、初項の1ではないのでしょうか？
どうして10となるのかわかりません。
どなたかお分かりになりますか？

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> 分子の最初の10は公式から考えれば、初項の1ではないのでしょうか？

そもそも「1/9(10^k-1)」は等比数列ではありません。
なので等比数列の和の公式は適用できません。

解説の方は

Σ1/9(10^k-1)
= (1/9)Σ(10^k-1)
= (1/9){ Σ(10^k) - Σ(1) }

と変形して、無理矢理等比数列a_n = 10^nを作っているんです。
そしてΣ(10^k)とΣ(1)を計算しています。
数列a_n = 10^nは「初項10、公比10の等比数列」ですよね。

お礼

わかりました！
本当にありがとうございます。大変助かりました。