定数係数の線形微分方程式の問題です。

質問

x'' + 3x' + 2x = 3e^(-t)　　　 ・・・・・ (1)
　x'' + 3x' + 2x = 0 の一般解 x0 は
　　x0 = C1e^(-t) + C2e^(-2t).

　(1)は演算子法を使って
　　[D^2 + 3D + 2]x = 3e^(-t)
と書けるので、(1)の特殊解を v とおくと

　　v = [1/(D+1)(D+2)]3e^(-t)
　　　= 3[1/(D+1) - 1/(D+2)]3e^(-t)
　　[1/(D+1)]e^(-t) = [1/(D-(-1))]e^(-t) = -te^(-t)
　　[1/(D+2)]e^(-t) = [1/(D-(-2))]e^(-t) = 1/(-1-(-2))e^(-t) = e^(-t).
　　∴v = 3( -te^(-t) - e^(-t) ) = -3e^(-t)(t+1).

　よって(1)の一般解は

　　x = C1e^(-t) + C2e^(-2t) + -3e^(-t)(t+1).

　これでいいと思ったのですが、v を検算してみると

　　v' = -3( -e^(-t)(t+1) + e^(-t) ) = 3te^(-t).
　　v'' = 3( e^(-t) - te^(-t) ) = 3e^(-t) - 3te^(-t)
　　　　　　　　　　　　　　　　= -3te^(-t) + 3e^(-t).
　　2v = -6e^(-t)(t+1)　　　　　= -6te^(-t) - 6e^(-t).
　　3v' =　　　　　　　　　　　　　9te^(-t).

なので
　　v'' + 3v' + 2v = -3e^(-t)
となってしまいます。単なる計算ミスなのか、それともやり方がまずいのかご指摘下さい。
※v をAe^(-t) と仮定してv'、v'' を求めれば A = 3 となるのは確認しています。

回答No.1

oze4hN6x · ベストアンサー

[1/(D+1)]e^(-t) = te^(-t) です。ここで計算間違いをしたようですね。
(ちなみに、その1行上では3が2つあります。単なる記載ミスだとは思いますが。)

お礼

> [1/(D+1)]e^(-t) = te^(-t) です。
　ああ！　そうですね。完全に勘違いしていました。

> ちなみに、その1行上では3が2つあります。単なる記載ミスだとは思いますが。
　お恥ずかしい。紙に書いた上で入力したのですが・・・・
　ご回答まことにありがとうございました！