物理学の、微分方程式の問題を教えてください

質問

「d^2x/dt^2+2*dx/dt=1の
問い1:特解と一般解を求め、
問い2:t→∞になった時、物体はどのような運動をするのか答えなさい」
この問題の問い2が分かりません。

問い1は
特解：x=t/2
一般解:x=C₁e^(-2t)+C₂+t/2(C₁とC₂は任意の数)
と分かりました。
問い2が分からないので教えてください。
お願いします

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

この問題は初期条件をはっきりさせないで定常解を求めろという、数学的にはあり得ても物理的にはセンスを疑う問題ですね。

d^2x/dt^2+2*dx/dt=1　　　(1)

lim(t→∞)x=lim(t→∞)C₁e^(-2t)+C₂+t/2=C₂+t/2

ここで積分定数は無視するとして

lim(t→∞)x=t/2

を言いたかったのでしょう。

これは特解であって

d^2x/dt^2+2*dx/dt=1の

第一項を省いた

2*dx/dt=1

の解になっています。

第一項d^2x/dt^2の効果は時間とともに減衰して消滅することを示しています。

もっと明らかなのは

dx/dt=1/2+Ce^(-2t)

なので

lim(t→∞)dx/dt=1/2

となり、一定の時間変化率になるということを示しています。

xが変位のときはdx/dtは速度になります。つまり十分時間がたつと速度が一定になるということです。

雨粒が空から落ちてくるとき、運動方程式は(1)と同様になり、重力が空気の抵抗とバランスして、

一定の速度になり、これを最終速度といっています。

お礼

ありがとうございました。
よく理解できました