微分方程式の特殊解の候補を求める問題なのですが

質問

以下の微分方程式の特殊解の候補を求める問題なのですが
1. y"+y=t^2+t
2. y"+4y'+3y=sint+2cost
3. y"-2y'=e^tsint
4.y"+5y'+4y=18e^(-t)

　例題はあったのですがいまいち問題の解き方がつかめないので、参考にどの問題でもよいので解いてもらえるとありがたいです。

例題）y"-4y'+3y=e^2t
解）右辺のe^2tは斉次方程式の一般解y=C1e^t+C2e^3tに含まれていない。したがって、特殊解の候補はy=ae^2t。

回答No.1

KitCut-100 · ベストアンサー

今回御提示の問題の特殊解を求めるは、一部理論的、一部経験的なとことが
あります。
1)y"+y=t^2+t
経験的に、 y''と yで t~2+tですので, y=at^2+bt+cとおけば成立しそうだと予測を立てて、それを実際に計算します a= 1 b=1 c=-2 となります。

2) y"+4y'+3y=sint+2cost
これも y'',y'と微分したものが sin と cos ですので y=a sin t + b cos t とおきます。これを計算すると a=1/2 b= - 1/4 です。

3) ,4)も同じ発想で y'',y'がそのような形になるかを想像して yを仮定します。

お礼

ご丁寧な解説ありがとうございます！
大変参考になりました！

回答No.2

info22

1.,2.は#1の方が回答済みなので、
3.,4.の特殊解の候補を書いておきます。

3.
y=[a cost+b cost]e^t

4.
y=a t e^t

それぞれ方程式に代入してaやbを決定して下さい。

お礼

参考にさせていただきました！
ありがとうございます！