2階線形微分方程式の解き方のコツ

質問

明日学年末で数学の試験があるのでなるべく急ぎでお願いします。

y''-3y'+2y=4e^3xという問題があったとします。
まず、y''-3y'+2y=0の一般解を求める→t^2-3t+2=0より
(t-1)(t-2)=0→t=1,2　よってy=C1e^x+c2e^2x
次にy''-3y'+2y=4e^3xの特殊解をy=Ae^3xと予測すると
y'=3Ae^3x、y''=9Ae^3xとなる

9Ae^3x-9Ae^3x+2Ae^3x=4e^3x→A=2
よって特殊解はy=2e^3x
以上よりy=C1e^x+C2e^2x+2e^3x

と授業で習いました。
そこで質問です。
「次にy''-3y'+2y=4e^3xの特殊解をy=Ae^3xと予測すると」
とありますが、この予測はどうやってしているのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

Willyt · ベストアンサー

微分方程式で解けるものは薄い教科書に載っているものの他にはないのです。これは全部暗記したところで大した労力ではないので、覚えてしまえばいいのです。微分方程式は線形の場合も含めて殆どが解けないもので、これを利用する場合は境界条件を与えて数値積分するしかないのです。
　予測は無理です。過去の天才的数学者が閃きで見つけ出してくれたものが載っているのです。数学は論理の積み重ねとよく言われますが、多くの場合、解に到達するにはひらめきが必要なのです。その意味で、数学も芸術も同じなのです。現にギリシャでは同じ扱いを受けていました。両方とも美、真、の追求だというわけです。

お礼

早速のお答えありがとうございます。
確かに二次方程式も直感で探して求めますものね。
まったくそのとおりで納得できました。

ありがとうございました。