定数係数の2階線形微分方程式の問題です。

質問

x'' + 2x' + 5x = 2cos(3t), x(0) = 1, x'(0) = 0.・・・・・・・(1)

　　k^2 + 2k + 5 = 0.　　k = -1±2i.

　x'' + 2x' + 5x = 0 の一般解 x0 は

　　x0 = e^(-t)(Acos2t + B2sin2t).

　x を複素数と見なして(1)を書き直すと
　　(D^2 + 2D + 5)x = 2e^(3it).

　　1/(D^2 + 2D + 5)[2e^(3it)]

　= 1/( (3i)^+ 2(3i) + 5 )[2e^(3it)] = 1/(-9 + 6i + 5)[2e^(3it)]

　= 1/( -4 + 6i)[2e^(3it)] = 1/(-2 + 3i)[e^(3it)]

　= -(2 + 3i)/13[e^(3it)] = -(2+3i)/13(cos3t + isin3t)

　= (-2/13)(cos3t + isin3t) - (3i/13)(cos3t + isin3t)

　= (-2/13)cos3t + (-2/13)isin3t - (3i/13)cos3t + (-3i/13)isin3t

　= (-2/13)cos3t + (-2/13)isin3t - (3i/13)cos3t + (3/13)sin3t

　= (-2/13)cos3t + (3/13)sin3t) + (-2i/13)sin3t - (3i/13)cos3t

　= (-1/13)(2cos3t - 3sin3t) - (i/13)(2sin3t + 3cos3t ).

　(1)の特解を x1 とすると
　　x1 = (1/13)(3sin3t - 2cos3t).

　よって(1)の一般解 x は
　　x = e^(-t)(Acos2t + Bsin2t) + (1/13)(3sin3t - 2cos3t).

　　x' = -e^(-t)(Acos2t + Bsin2t) + e^(-t)(-2Asin2t + 2Bcos2t)
　　　　　　　　　　　　　　　　　+ (1/13)(9cos3t + 6sin3t).

　　x(0) = A - 2/13 = 1.　　A = 15/13.

　　x'(0) = 15/13 + 2B + 9/13 = 0.　　2B = - 24/13.　B = -12/13.

　求める特解を改めて x とおくと
　　x = (e^(-t)/13)(15cos2t + 12sin2t) + (1/13)(3sin3t - 2cos3t).

　ラプラス変換による解法では
　　x = (e^(-t)/13)(15cos2t + 3sin2t) + (1/13)(3sin3t - 2cos3t).

となりました。どちらかが計算ミスしていると思いますのでご指摘下さい。
　ラプラス変換での解法は分数表示が煩雑なので以下のテキストをご参照下さい。
http://ichigo-up.com/Sn2/download/1416878709.txt
pass は 1234

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

ぶっちゃけていうと, 符号を 2ヶ所忘れてる. 複数ヶ所間違えて結果的にあってしまうこともあるんだけど今回はそうなっていない模様. よかったんだか悪かったんだか.

1ヶ所指摘しておくと,
B = -12/13
って書いてるのに
x = (e^(-t)/13)(15cos2t + 12sin2t) + (1/13)(3sin3t - 2cos3t).
は明らかに変だよね.

で, ここに来る前でもう 1ヶ所間違えてるところがある. じっと見るとわかるかも.

お礼

特解は
　x1 = (1/13)(3sin3t - 2cos3t).
で合ってましたね。その確認計算も間違っていました。
x'(0) = -15/13 + 2B + 9/13 = 0. 2B = 6/13. B = 3/13.
　ほんとにつまらないミスでした。

回答No.1

Tacosan

うん, ラプラス変換で求めた解があってるらしいよ.

ということで, 演算子を使った方はもう 1度見直してください. 1文字見落としています.

補足

どこか見落としているのでしょうが見つけられません。特解が
　x1 = (1/13)(3sin3t - 2cos3t).
でまずいということは微分して(1)に放り込めばわかるのですが・・・・