線形微分方程式

質問

教科書に載っていた問題ですが、解き方がいまいち判っておらず解答までにたどり着けません。よかったら、ご指導をお願いします。

Three paticular solutions of a certain second-order linear equation Ly=f are...

y=x , y=(e^x)+x , y=2(e^x)+1+x

What is the general soluion?
日本語訳
ある二階線型方程式Ly=fとは、Lが線形微分演算子であることから、二階微分方程式であると考えられます。
そして、その三つの特殊解が～である。このとき一般解を求めなさい。
答え
y=(C_1)(e^x)+(C_2)+x

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

とりあえず Ly = f の解として
y_1 = x, y_2 = e^x + x, y_3 = 2e^x + 1 + x
が与えられています. このことから,
z_1 = y_2 - y_1 = e^x, z_2 = y_3 - y_1 = 2e^x + 1
はどちらも Lz = 0 の解です. これと L が二階であることから次のように考えました:
まず z_1 = e^x が解なので, L は D-1 を因数に持ちます.
z_2 に対しては Dz_2 = 2e^x なので (D-1)z_2 = -1. この -1 を消すためにもう 1回微分すると
D(D-1)z_2 = 0
が得られます. このことから, L = D(D-1) がわかります.
あとは D(D-1)y = f の f を求めにいって, 適当な y を代入すれば f = -1 となります.
だから元の方程式は
D(D-1)y = -1.

回答No.2

Tacosan

一番頭を使わない方法: 元の線形微分方程式を再構成する.
つまり, 例えば y = x と y = e^x + x が Ly = f の解なので, (これらの差である) z = e^x は Lz = 0 の解. 2階なのでもう 1つ Lz = 0 の独立な解を作ることができ, いろいろ計算すると最終的に元の微分方程式が
(D^2 - D)y = -1
であることがわかって, その一般解は
y = C_1 e^x + C_2 + x.

お礼

Tacosanさんありがとうございます。

私の習いたての知識では、どのように微分方程式、(D^2 - D)y = -1をえれたのかが全く判りません・・・。

回答No.1

rabbit_cat

非斉次な２階線形微分方程式の一般解は、
２階斉次微分方程式の２個の独立な解（基底）の線形和＋非斉次微分方程式の特殊解
です。

で、２個ある基底をf(x)、g(x)、特殊解をh(x)とすると、
y=x , y=(e^x)+x , y=2(e^x)+1+x が解であることから、
x = a1*f(x) + b1*g(x) + h(x)
(e^x)+x = a2*f(x) + b2*g(x) + h(x)
2(e^x)+1+x = a3*f(x) + b3*g(x) + h(x)
と書けるわけです。（a1～a3,b1～b3は定数）
で、これを眺めてると、f(x)=e^x，g(x)=1，h(x)=x てのが見えてきます。（式同士を辺々引き算すればよい）