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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：2階線形微分方程式の問題なんですが…）
2階線形微分方程式の問題なんですが…
このQ&Aのポイント
- 質問文章では、初等的な2階線形微分方程式の問題について質問されています。
- 関数y(x)における微分方程式y'' + y = 2*sin(x)の解き方がわからない状況です。
- 既にy=C*cos(x) + D*sin(x)が解の一部であることはわかっているが、後の手順についてわからない状況です。
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質問者が選んだベストアンサー
こんばんは。 確認ですが、簡単な解き方の手順です。 (1)右辺を０をおいた、同伴方程式の一般解Ｙを求めます。 (2)問題となっている、非斉次式の特解y0を何でもいいので求めます。 (3)求めるべき解は、y=y0+Yですね。 さて、(1)からまいりましょう。 同伴方程式の特性方程式 λ^2+1=0 ∴λ=-i つまり、同伴方程式の一般解Yは、 Y=Csinx+Dcosx ですね。オイラーの公式使いました。 (2)特解を求めます。 質問者様のように、与式の特解を y=asinx+bcosxとおいてみると、 二階微分は、 y"=-asinx-bsinxで、 y"+y=0となり、適した解がないことになります。そもそも特解と形が同じで、特解にはなりません。 定数変化法というのがありました。 y=x(asinx+bcosx)とおいてみましょう。 y"を計算して与式に代入します。 私の計算が正しいと仮定して、 2acosx-2bsinx=2sinxと続きます。 つまり、a=0,b=-1 特解は、y0=-xcosxと求まりました。 (3)あとは手順どおり同伴方程式の一般解と特解をくっつけておしまいです。
お礼
やはりそんな感じの答えが出てきますよね。 自分で計算したのを見直してみたら途中式の計数が間違っていました。 y_s = -( x+E ) * cos(x) になってnarucrossさんの答えと一致しました。 なぜか周期関数になってしまったシミュレートプログラムの方ももう一度見直してみます。 丁寧な解答ありがとうございました。
補足
ちなみに、シミュレートした結果というのはこれです。 http://www.imgup.org/iup615253.jpg 4次のRunge-Kutta法でシミュレートしています。 ちなみに横軸は見やすいように t=x/π で正規化してます。 初期速度はすべて0です。 周期が4πに伸びてるのも気になるんですよね… もう一度洗いなおしてみます。