無限領域での波動方程式の計算に出てくる偏微分方程式
波動方程式の計算に出てくる、偏微分方程式の解の計算方法が分かりません。
本から引用します：
ここで、弦を伝わる波の問題などで使われる波動方程式
{ (∂^2) u(x,t) } / (∂t^2) - c^2 * { (∂^2) u(x,t) } / (∂x^2) = 0 (式7.33)
を考えてみよう。ここで、u(x,t)は座標xの位置での時刻tにおける弦の変位を表わし、cは正の定数とする。そして、∞に長い弦を考え（すなわち、-∞<x<∞の範囲で考え）、境界条件は、すべての
t>=0
に対して
u(x,t)→0 (式7.34)
(x→±∞)
を満たすとする。つまり、無限遠では波が存在しないとする。更に初期条件は
u(x,0) = f(x)
{ ∂u(x,t) } / ∂t |t=0 = 0 (式7.35)
とし、ここでf(x)は
x→±∞
で0に近付く絶対可積分な関数であるとする。また、上式の縦棒(|)の後のt=0は、「t=0での偏微分の値」という意味である。(式7.35)のように初期条件として2つの式を与えるのは、(式7.33)がtについて2階の微分方程式だからである。今の場合、xの無限領域での関数u(x,t)を取り扱うので、フーリエ変換を使った解法を用いればよい。
例題
初期条件(式7.35)と境界条件(式7.34)を満たす(式7.33)の解を求めよ。
[解] u(x,t)のxについてのフーリエ変換を
F(k,t) = ∫[-∞,∞] u(x,t) e^(-ikx) dx (式7.36)
と表す。(式7.33)にe^(-ikx)を掛け、xについて-∞から∞まで積分すると、熱伝導方程式(式7.20)を導いたときと同様な考え方から、
{ (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) + (c^2) * (k^2) * F(k,t) = 0 (式7.37) ←質問箇所
を得る。この微分方程式の解は、
F(k,t) = C[1](k) e^(ickt) + C[2](k) e^(-ickt) (式7.38) ←これをどう導いたのかが不明
であることが、代入すれば確かめられる。ここで、C[1](k)、C[2](k)は任意のkの関数で
ある。
・・・以上、引用終わり。
私は偏微分方程式自体、変数分離とかいう方法でサラッとやっただけで、上記の方法は見たことがありません。ネットで検索しましたが、同様の式を見つけることが出来ませんでした。そんな私が敢えて解こうとすると：
{ (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) + (c^2) * (k^2) * F(k,t) = 0
第2項を右辺に移項する
{ (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) = - (c^2) * (k^2) * F(k,t)
左辺の(∂t^2)と右辺のF(k,t)を交換する
{ (∂^2)F(k,t) } / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * (∂t^2)
両辺をtで積分する（もう既に未知の領域…きっと2乗が減って1乗になるのでしょう…）
ln{F(k,t)} * {∂F(k,t)} / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * ∫(1)(∂t^2)
ln{F(k,t)} * {∂F(k,t)} / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * t (∂t) + C[1](k)
もう一度両辺をtで積分するだろう雰囲気を漂わせたところでやめておきます。
もしかしたらln{F(k,t)}を積分しなければならないのでは、と思ったら思考が停止しました。多分、既に間違っているのでしょう。
…ということで、この偏微分方程式の解き方を教えて下さい。お願いします。
お礼
回答ありがとうございます。 「置換」という言葉と「例」でジワっと分かり、自分でもしかしてと思って解くことができました。 端的で助かりました。 また機会があれば、そのときもよろしくおねがいします。