微分方程式の問題

質問

(D^2+2D-15)y=x*exp(3x)　　Dは微分演算子
この微分方程式を解け。

自分の計算では、補助方程式の一般解ycは次のように解けたんですけど(間違っていたらご指摘お願いします）、特解についての解き方が分かりません。どのように解けばよいのでしょうか？

yc=C1*exp(-5x)+C2*exp(3x)

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>(D^2+2D-15)y=x*exp(3x)　

これを見て、何となく、exp(3x)に近い解がありそうな気がしませんかね。(左辺がだいたいexp(3x)くらいですので)

ですので、
y=f(x) exp(3x)
とおいて、fについての微分方程式に書き直すのが分かりやすいでしょうか。

やや面倒になるかもしれませんが、とりあえず、定数変化法でも特解は求まりまるはずです。

補足

定数変化法ですか。自分は未定係数法でやってみたのですが、合っているか分からないので、間違いがあったら指摘してください。

y=g(x)=(A+Bx)x*exp(3x)とおく。この式よりy,y'y''を導く。
y=(Ax+Bx^2)*exp(3x)
y'=(A+2Bx)*exp(3x) + 3(Ax+Bx^2)*exp(3x)
y''=2B*exp(3x) +6(A+2Bx)*exp(3x) + 9(Ax+Bx^2)*exp(3x)

これより次式でAとBを求めます。
x*exp(3x) = y''+2y'-15y・・・(1)

これより(1)式を整理すると次のようになる。
x*exp(3x) = (16Bx+8A+2B)
よってB=1/16 , A=-1/64
したがって、求めるyは次式である。
y=C1*exp(-5x) + {C2 - (1/64)x + 1/16x^2}*exp(3x)

回答No.2

propon2334

こんちあ。
no.1さんの解き方の方がらくなのですが、ここは微分演算子Dを使って解かなくてはいけないでしょう。

こういう式があります。
{1/f(D)}exp(ax)P(x)=exp(ax){1/f(D+a)}P(x)
これを用いると級数展開法から特解がでてきます。

いやー。僕も院試勉強中ですがほんと大学数学って大変ですね。お互い頑張りましょう。