定数係数の線形微分方程式の問題です。

質問

y'' + 2y' + 5y = 2cos(3x)
の特殊解 y1 を求めます。WolframAlpha での結果は
　　y1 = (3/13)sin(3x) - (2/13)cos(3x).

　　cos(3x) = RE[e^(i3x)].

　　　　　　　 1　　　　　　　　　　　　　　　1
　　y1 = -------------2cos(3x) = RE[---------------------2e^(i3x)].
　　　　 D^2+2D+5　　　　　　　　　　(3i)^2 + 2(3i) + 2

　　　　 1　　　　　　6i+7　　　　　　6i+7　　　　7+6i
　　------------ = ------------- = ---------- = -------
　　 -9 + 6i + 2　(6i-7)(6i+7)　　　-36 - 49　　　-85 .

　　-(1/85)(7+6i)2e^(i3x) = -(2/85)(7+6i)e^(i3x)

　= -(2/85)(7+6i)( cos(3x) + isin(3x) )

　= -(2/85)(7cos(3x) + 7isin(3x) + 6icos(3x) - 6sin(3x) )

　　∴y1 = -(2/85)( 7cos(3x) - 6sin(3x) ).

　全然合いません。どこがおかしいのでしょうか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

>
　　　　　　 1　　　　　　　　　　　　　　　1
　　y1 = -------------2cos(3x) = RE[---------------------2e^(i3x)].
　　　　 D^2+2D+5　　　　　　　　　　(3i)^2 + 2(3i) + 2

ここで分母の"5"が"2"になっているのだが。

回答No.2

spring135

計算を落ち着いてやりましょう

D^2+2D+5=(3i)^2+2(3i)+5=-4+6i (D=3iを代入する。) (1)

2/(-4+6i)=1/(-2+3i)=(-2-3i)/[(-2+3i)(-2-3i)]=(-2-3i)/13 (2)

Re[(cos3x+isin3x)(-2-3i)/13]=(-2/13)cos2x+(3/13)sin3x (3)

(1)では2⇒5というの誤記

(2)分母の有理化という基本的演算

(3)は念のため

お礼

> 計算を落ち着いてやりましょう
ありがとうございます。その通りでした。