幾何分布の問題

質問

ある射撃手の標的への命中率は0.6。この射撃手が標的に命中するまで弾丸を打つ時、打った弾丸の数の平均は1.67、標準偏差は1.05とすると、射撃手が標的を命中させるのにn発を必要とまする確率が0.99以上になる最小のnを求めよ。

回答No.2

kamiyasiro · ベストアンサー

企業に勤務する統計家です。

幾何分布の累積密度は、離散分布のため、x＝1，2，3・・・の和を取ります。
今、簡単のために、
q＝（1－p）
k＝（x－1）＝0，1，2・・・
とします。

等比級数の和の公式により、

Q（n）＝Σ［k＝0～n］pq^k
＝p（１－q^（n＋1））／（1－q）

Q（n）＝0.99と置いて、nを解くと、

（途中略）

n＝4.026
nをxに変換して、切り上げると、x＝6

途中式は、両辺の対数を取るなどですので、ご自分でなさって下さい。

お礼

ありがとうございます！
参考にさせていただきます！

回答No.3

yyssaa

＞確率pの事象がn回目に初めて生じる確率G_p(n)={(1-p)^(n-1)}*p
(このG_p(n)の自然数n上の分布が幾何分布)の平均はp、標準偏差は
(1-p)/p^2。
　実績値(平均1.67)からpを逆算すると、p=1/1.67≒0.5988、
又、実績値(標準偏差1.05)からpを逆算すると、(1-p)/p^2=1.05を
解くと、1.05p^2+p-1=0、p={-1±√(1+4*1.05)}/2.1=(-1±√5.2)/2.1
p＞0からp≒0.6097となり、「命中率は0.6」は正しいことが確認
出来たので、∑(i=n+1→∞)G_0.6(i)≦0.01を満たすnの最小値を
計算すると、
∑(i=n+1→∞)G_0.6(i)=lim(k→∞)∑(i=n+1→k)G_0.6(i)
=lim(k→∞)∑(i=n+1→k){(1-0.6)^(i-1)}*0.6
=lim(k→∞)0.6*∑(i=n+1→k)0.4^(i-1)
=lim(k→∞)(0.4^n-0.4^k)=0.4^n
0.4^n≦0.01、両辺の常用対数をとり、常用対数表より
log0.4^n≦log0.01、
log0.4^n=n(log4-log10)=n(0.6021-1)=-0.3979n
log0.01=log1-log100=-2だから
-0.3979n≦-2、n≧2/0.3979≒5.03よりn=6・・・答

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

Tacosan

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