正規分布の問題

質問

大学院進学のために院試の過去問を解いています。
その中で正規分布の問題があり、私の通っていた大学ではここまでは勉強していなかったために
解き方が全く分かりません。
大学の先生に聞いてみても良いかと思いましたが、その先生とは全くといって良いほど接点がなく、また、違う大学の院試なので聞いても教えてくれません。
自分で調べるとしても他の部分の勉強のためにこの問題を解くのに時間がありません・・・

分かる方がいれば教えてもらないでしょうか？
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平均μ（ミュー、マイクロとも）、分散σ^2（シグマ二乗）の正規分布N(μ σ^2)から独立に抽出されたn個の標本平均をXとする。

問1
母分散σ^2が既知の場合、母平均μの信頼度100(1-α)%の信頼区間を求めよ。但し、有意水準α、標準正規分布の上側確率が100(α/2)%となる点の値をZ(α/2)とする。

問2
測定値は母分散がσ^2=0.04の正規分布に従うとする。母平均μの信頼度95%での標本誤差を0.1以下にしたいとき、最小限必要な標本の大きさnを求めよ。但し、標準正規分布の上側確率が2.5%となる点の値Z(0.025)は1.96である。

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宜しくお願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

問1
母分散σ^2が既知の場合、母平均μの信頼度100(1-α)%の信頼区間を求めよ。
但し、有意水準α、標準正規分布の上側確率が100(α/2)%となる点の値をZ(α/2)とする。
＞標準正規分布のZより上側の確率は、N(μ,σ^2)のμ+σZ(α/2)
より上側の確率に等しいので、
μ-σZ(α/2)＜μの信頼度100(1-α)%の信頼区間＜μ+σZ(α/2)・・・答え
問2
測定値は母分散がσ^2=0.04の正規分布に従うとする。母平均μの信頼度95%での標本誤差を0.1以下にしたいとき、
最小限必要な標本の大きさnを求めよ。但し、標準正規分布の上側確率が2.5%となる点の値Z(0.025)は1.96である。
＞n個の標本平均XはN(μ,σ^2/n)に従うので、Xの信頼度95%の
区間は、-1.96＜(X-μ)/(σ/√n)＜1.96より|X-μ|＜1.96(σ/√n)、
|X-μ|＜0.1のためには1.96(σ/√n)＜0.1より
n＞(1.96σ/0.1)^2=19.6^2σ^2=19.6^2*0.04=15.3664
よってn=16・・・答え

お礼

問を解いて頂き、ありがとうございます。
おかげさまでこの問題の解き方や、考え方が分かりました。
大学院試に向け勉強に励みたいと思います。
BAに選ばさせて頂きます。

大変、ありがとうございました。

回答No.1

noname#227064

解き方も全く分からず、これについての勉強をする時間もないのであれば、正規分布の問題は捨ててしまうのは如何でしょうか？
その代り、解けそうな問題はしっかり点を取れるようにする必要はありますが。

ところで問２の問題で

> 母平均μの信頼度95%での標本誤差を0.1以下にしたい

の信頼度がどうして出てくるのかが不思議です。
標本誤差とは推定量の分布の標準偏差のはずで、この場合、μの推定量であるXの分布の標準偏差σ/√nが標準誤差になります。
従って、
σ/√n ≦ 0.1
を解けば良いだけで、信頼度も但し書きの部分も必要ないはずです。

恐らく、信頼区間の幅の書き間違いではないでしょうか？

補足

回答ありがとうございます。

＜解き方も全く分からず、これについての勉強をする時間もないのであれば、正規分布の問題は捨ててしまうのは如何でしょうか？
＞駄質問して申し訳ありません。その通りかもしれません。
と答えさせて頂きます。

ですが、問２の解き方で
＜標本誤差とは推定量の分布の標準偏差のはずで、この場合、μの推定量であるXの分布の標準偏差σ/√nが標準誤差になります。
＜従って、
＜σ/√n ≦ 0.1
＜を解けば良いだけで、信頼度も但し書きの部分も必要ないはずです。

と回答して頂きましたが、私としてもこの部分には少し違和感を覚えまして、
この式をすぐに導く程は勉強していないので、私の直感としては
「何か言葉を並べているだけで、聞いている事は簡単な事？」
と思い、私の思いつきは合っているのか確かめるべく、質問させて頂きました。

ここまで書いてしまっては他の方の回答を待ちます。
これ以降、駄質問な質問はいたしません
この回答者様も含め、どうか皆様にご教示をお願いします。