微分方程式(物理)の問題。回答お待ちしています。

質問

Aを定数として，y(t)に関する次の微分方程式

　　　…(1)

は，βを定数とした変数変換　ξ= y +β　を用いて，

　　　…(2)

に変換することにより，一般解

　　　…(3)

を得られる。変数変換の定義式中の定数βをどのように選べばよいか。

＊＊＊選択肢＊＊＊
(i) A　　　(ii) A/k　　　(iii) -A/k　　　(iv) kA　　　(v) -k

回答No.2

spring135

次の変形はすぐ思いつきますか。

dy/dt=A-ky=-k(y-A/k)

さらに、A/kは定数という建前なので

dy/dt=d(y-A/k)/dt

ということも理解できますか。

そうすると微分方程式は

d(y-A/k)/dt=-k(y-A/k)

y-A/kをまとめて変数とみれば、変数分離して

d(y-A/k)/(y-A/k)=-kdt

log(y-A/k)=-kt+c

y-A/k=Ce^(-kt)

y=Ce^(-kt)+A/k

何をどう変換しても結論は同じです。上のように変換しない方法もあります。

回答No.1

gohtraw

ｄξ／ｄｙ＝１　なので、

（ｄｙ／ｄｔ）（ｄξ／ｄｙ）＝Ａ－ｋｙ
この式の左辺はｄξ／ｄｔに等しいので
－ｋξ＝－ｋ（ｙ＋β）＝Ａ－ｋｙ
よって
ーｋβ＝Ａ
β＝－Ａ／ｋ