一階の常微分方程式の変数分離ができません。

質問

大学1年の基礎物理学の授業で微分方程式を教わっているのですが、
変数分離をどのようにすればいいのか分からない問題に悩んでいます。
問題は「dy(t)/dt＋ay(t)＝b」(a,bは定数、y(t)はtの関数ｙ)の一般解を求めよ。
というものなのですが、先程述べたように、どの様に変数分離すればよいのか分かりません。

自分はまず、両辺をｙ(ｔ)で割って、「1/y(t)・dy(t)/dt＋a＝b/y(t)」としたのですが、
そうすると、ｂの方にもｙ(ｔ)が出てしまい積分できません。

友人にチラッと聞いた話では、b＝0で計算すればよいと言われました。
確かにb＝0として計算すると一般解はでますが、これは違う問題の一般解に
なっているのではないかと思います。
仮にそうではなく、ちゃんと正しい答えになっているのであれば、どうしてb＝0としてよいのか
分かりません。

加えて、これは自分の予想ですが、この問題は、大問の(iii)なのですが、
(i)(ii)ではそれぞれ、「dy(t)/dt＝b」「dy(t)/dt＋ay(t)＝0」の一般解を求めているので、
その一般解を何かしらの形で用いるのではないかと思っています。

自分の憶測を書いたり、分かりませんばかりで申し訳ないのですが、
どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

dy(t)/dt＋ay(t)＝b

dy(t)/dt＝b-ay(t)=-a[y(t)-b/a)]

b/aは定数なので

dy(t)/dt=d[y(t)-b/a))/dt

d[y(t)-b/a))/dt=-a[y(t)-b/a)]

又は

z(t)=y(t)-b/a

に変換してもよい。

変数分離して

d[y(t)-b/a))/[y(t)-b/a)]=-adt

積分して

log[y(t)-b/a)]=-at+c

[y(t)-b/a)]=Ce^(-at)

y(t)=Ce^(-at)+b/a

お礼

なるほど‼移項してaでくくってしまえばよかったのですね！
bを0にする事ばかり考えていたので、こんなに簡単にできるとは思いませんでした。

素早いご回答ありがとうございました。
今日はせめてこれだけでも解決させておきたいと思っていましたので、とても助かりました。