物理の微分方程式

質問

物理の微分方程式

高二です。塾で微分方程式を習ったのですが、さっぱりです。。。。

問 質点が速度Vに比例する抵抗力を受けて運動する際、V（ｔ）、X（ｔ）を求めよ。ただし、比例定数をｋ（>０）とする。

解 ma = mg-kv --1
a = dv/dt --2
v = dx/dt --3
1,2より dv/dt = g-kv/m
よって　dv/dt = -k/m(v-mg/k) ---4　←変数分離型
　　　　(1/v-mg/k)dv = -k/m dt ----5
ここから積分して、計算して
log{v(t)-mg/k} = C-kt/m ----6 (C=log{v(0)-mg/k}) {}は絶対値
そして　{v(t)-mg/k} = e^C -e^-kt/m -----7
その後　v(t)=mg/k(1-e^-kt/m)(t≧０)　となりました

質問 (1)初期条件ってなんですか？
　　(2)4→5の過程はなぜやるんですか？変数分離型ってなんですか？
　　(3)6→7の過程でなぜlogがとれるんですか？
　　(4)よければx(t)の答えを教えて下さい

とても困っています！部分的でもよいので教えて下さい、お願いします

回答No.1

sanori · ベストアンサー

（１）
たとえば、１個２００円のお菓子をｘ個買うとして、箱代が必ずＡ円かかるとすると、
支払うお金　＝　ｙ　＝　２００ｘ　＋　Ａ
ですよね？
ここで、
「５個買ったら、合計１１００円だった」（ｘ＝５のときｙ＝１１００）
という条件を与えると、
１１００　＝　２００×５　＋　Ａ
より
Ａ＝１００
となって、箱代１００円が定まり、
ｙ　＝　２００ｘ　＋　１００
というふうに関数も定まります。
初期条件というのは、
「５個買ったら、合計１１００円だった」
のことです。

（２）
dv/dt = -k/m(v-mg/k)　のままで積分しようとすると、
∫dv/dt = ∫-k/m(v-mg/k)
となるので、変ですよね？
だから、ｄなんちゃらが左と右に１個ずつ、しかも分母にならないように来るように変形すると、
(1/v-mg/k)dv = -k/m dt
となります。
この式を見ると、ｖやｄｖは左辺にしかなく、ｔやｄｔは（この場合はｔはありませんが）右辺にしかありません。
２つの変数が左右にうまく分離できているので、「変数分離」と言います。

（３）
６の両辺の指数を取っているだけです。
たとえば、log[2]８ ＝ ３　ですが、底の２を使って両辺の指数を取ると、
８　＝　２^3
となりますよね？　見た目、log[2]が消えたように見えますが、実際は指数を取っています。
左辺のlogが消えたことの代償（？）として、右辺は指数関数になっています。
それと同じことです。

右辺は、C-kt/m　のｅの指数を取って
ｅ^(C-kt/m) = ｅ^C・ｅ^(-kt/m)
左辺は、
ｅ^(log[e]{v(t)-mg/k}) = {v(t)-mg/k}

（４）
式３を見るとわかりますが、
ｘ　＝　∫ｖｄｔ
なので、上でも求まったｖの式をぶち込んでｔで積分するだけです。

補足

素早い回答本当にありがとうございます！
大変助かります！

（2）で
dv = -k/m（v-mg/k）dt
として積分するのはダメなんでしょうか？dとtの変数を分離させないと正確な値がでないということなのでしょうか？

回答No.3

sanori

Ｎｏ．１の回答者です。
コメントに答えます。

＞＞＞
（2）で
dv = -k/m（v-mg/k）dt
として積分するのはダメなんでしょうか？dとtの変数を分離させないと正確な値がでないということなのでしょうか？

たとえば、一例として
ｖ＝Ｌｘ^2＋Ｍｘ＋Ｎ　（Ｌ、Ｍ、Ｎは定数）
と与えられていれば、
∫-k/m（v-mg/k）dt
は計算できます。
単に　ｖ＝Ｌｔ^2＋Ｍｔ＋Ｎ　を代入してから積分すればよいのですからね。
しかし、最初からｖとｔの関係がわかっているならば、そもそもｖを求めることの意味がないですよね。
ｖがｔのどのような関数であるかがわからないから、微分方程式でその関数を求めるのです。

お礼

回答ありがとうございます。

最初から最後まで本当にありがとうございます！
とても勉強になりました！ありがとうございました

回答No.2

lineage_of_kei

#1様が立派な回答を作られておられるので、私はそれについた疑問だけ回答を。

＞（2）で
dv = -k/m（v-mg/k）dt
として積分するのはダメなんでしょうか？dとtの変数を分離させないと正確な値がでないということなのでしょうか？

問題文の中でご自身で
＞V（ｔ）、X（ｔ）を求めよ。
と書かれておられますね。つまり、速度は時間の関数であり、正確に書くならば

dv = -k/m（v(t)-mg/k）dt

です。これを積分するにはあらかじめv(t)がどのようなtの関数であるかを知る必要があり、今はこのよくわからないvの形を定めようとしているわけです。

そもそもvの形が分かっているなら積分しなくとも、その形が解ですよね＾ｗ＾

そんなわけで変数分離は積分計算が可能となるように、右辺と左辺にそれぞれの変数を寄せ集めてやるわけです。

お礼

回答ありがとうございます！

本当に助かりました！ありがとうございます！