微分方程式の解法。

質問

現在、私は微分方程式が解けなくて困っています。

その微分方程式は次のようになります。

(d^2/dr^2)Ｔ+(1/r)(d/dr)Ｔ＝(1/K)(d/dt)T
をラプラス変換した、

Ｔ''+（1/r）*Ｔ'-（s/K）*Ｔ=0

です。
式のｓはラプラス演算子で、Ｋは定数です。

この式の解法を調べたところ、上のような微分方程式はベッセルの変形微分方程式というものであることがわかり、一般解を導出し、計算したのですが、ラプラス逆変換が困難で挫折しました。

なにか他の解法はありませんか？

今、考えているのが解を次のように仮定し、

Ｔ＝A*exp(-rs)+B*exp(-rs)

上の式に代入し、境界条件によってＡとＢを決定する方法です。

この方法はまずいですか？

困っているので回答お願いいたします。

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

情報不足のため途中まで・・・！
T=T(r,t)とおくと
Ｌ｛T｝=T(r,s)－Ｔ(r,+0) (Ｌ｛T｝:ラプラス変換の意味)
(t=0での条件が分からないのでＴ(r,+0)が定められません！)
依って、与式の
左辺＝T"(r,s)+1/r・T'(r,s)
右辺＝(1/K)Ｌ｛dT/dt｝＝s/K・T(r,s)

T"(r,s)+1/r・T'(r,s)－s/K・T(r,s)＝0
(Ｔ(r,+0)を考慮していない（簡単のためＴ(r,+0)＝0とした）ため不正確です)

T(r,s)＝C1・Ｊ[0](ir/√K・√s) C1は常数 （i:虚数単位　、Ｊ[0](r):0次のrに関するベッセル関数）
（初期条件等が分からず、C1が定められないのでラプラス逆変換が分かりません！）
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情報不足のため途中まで・・・！

(d^2/dr^2)Ｔ+(1/r)(d/dr)Ｔ＝(1/K)(d/dt)Ｔ
Ｔ＝exp(－n^2・Kt)Ｒ(r)とおくと
(n:常数で初期条件等により定められる数) (Ｒ(r):rの関数)
dT/dt＝(－n^2・K)Ｔ

よって与式の右辺に代入して移項すると
(d^2/dr^2)Ｔ+(1/r)(d/dr)Ｔ+(n^2・K)Ｔ＝0　　
　(0次のrに関するベッセルの微分方程式)

解はＪ[0](n√K・r)（又はＹ[0](n√K・r))
r=0でＴ→∞にならないとすれば、解はＪ[0](n√K・r)

故に、Ｔ＝C1・exp(－n^2・Kt)Ｊ([0](n√K・r))
（C1が定められません。）

回答No.6

arrysthmia

x = r^2
u = 4Kxt
で置換すると
(∂/∂x)^2 T = (∂/∂u) T
になるけど？

回答No.5

ichiro-hot

(d^2/dr^2)Ｔ+(1/r)(d/dr)Ｔ＝(1/K)(d/dt)T
やはり最初は変数分離でしょうね。
Ｔ＝Ｆ（ｒ）・Ｇ（Ｔ）とすると、
Ｇ・(d^2/dr^2)Ｆ+(1/r)Ｇ・(d/dr)Ｆ＝(1/K)Ｆ・(d/dt)Ｇ
｛１/Ｆ｝・｛(d^2/dr^2)Ｆ+(1/r)・(d/dr)Ｆ｝＝(1/K)（１/Ｇ）・(d/dt)Ｇ＝Ｃ
Ｃはｒ，ｔによらない定数。
　(d^2/dr^2)Ｆ（ｒ）+(1/r)・(d/dr)Ｆ（ｒ）＝Ｃ・Ｆ（ｒ）
　(d/dt)Ｇ＝ＣＫ・Ｇ
　これで、上の式が０次のＢｅｓｓｅｌ方程式になることがわかる。
　その解は
　Ｆ（ｒ）＝ｃ１・Ｊ０（√Ｃ・ｒ）＋ｃ2・Ｙ０（√Ｃ・ｒ）
ただしｃ１，c2は定数，Ｊ０（√Ｃ・ｒ），ｃ2Ｙ０（√Ｃ・ｒ）は０次の第1種Bessel関数，第2種Bessel 関数。以下、境界条件から解の性質を検討していくということのようです。
　ロープをたらしたときの振動を扱った例が山内恭彦著『物理数学』（ｐ１８７～１８８）にあり、その引用文献に”寺沢寛一『自然科学者のための数学概論』第11章ｐ４４９参照”と有りました（あいにく今は手元になく内容が確かめられません）。
　また、
　F（ｒ）＝Σan・ｒ＾ｎ
と冪級数と置いて級数展開によって解き、解が良く知られたBessel関数になることを確かめている例が『物理と化学のための　数学I』（マージナウ・マーフィ著：共立全書ｐ８１～８２）が有りました。
　これはこの級数を元の微分方程式に代入し、ｒ＾ｎについて整理したの級数の係数から係数anの関係を求め、無限集数解を得る方法ですが、これならBessel関数を直接使わなくてもとりあえず近似解は得られるでしょう。
　いずれも著名な書籍なのですが、古いものばかりで理学部図書館等でないとないでしょうね。手持ちの資料ではラプラス変換による解法例は残念ながら有りませんでした。申し訳ない。
　『０次のＢｅｓｓｅｌ方程式』をヒントに解法を調べていけば、手がかりが得られませんか？

回答No.4

Akira_Oji

これは円筒座標系での熱伝導方程式のようですね。私の場合はまずは
T=R(r)Q(t)
とでも解の形を仮定して、元の方程式に代入して、両辺をR(r)Q(t)でわれば、左辺がｒのみの関数で右辺がｔのみの関数になるので、左辺・右辺それぞれが「ある定数に等しくなくてはならない」という「変数分離法」を使うほうが簡単かなと思います。

あるいは、Green関数を求める方法もいいかもしれません。
今村勤「物理とグリーン関数」岩波全書などは安価で分り易いと思いますが。今でも売っていると思いますが。

回答No.3

gef00675

ラプラス変換の形から、
T(r,t)=I0(ar)e^(bKt)
の形の解が考えられる。（I0は0次変形ベッセル関数）
元の方程式に代入すると、
a^2=b
のような係数の関係が得られる。線形微分方程式なので、f(a)を任意関数として
T(r,t)=∫f(a)I0(ar)e^(a^2 Kt)da
の形の解が得られる。f(a)はt=0における境界条件をハンケル変換すれば定められると思う。

回答No.1

spring135

(d^2/dr^2)Ｔ+(1/r)(d/dr)Ｔ＝(1/K)(d/dt)T
はT(r,t)を求める偏微分方程式ですか。
ラプラス変換は時間に対してのみ行なうやり方が一般的ですが
間違っていませんか。

補足

＞(d^2/dr^2)Ｔ+(1/r)(d/dr)Ｔ＝(1/K)(d/dt)T
はT(r,t)を求める偏微分方程式ですか。

はい。そうです。

＞ラプラス変換は時間に対してのみ行なうやり方が一般的ですが
間違っていませんか。

ラプラス変換後はそのような形になっておりました。理由はわたしもよくわかりません。。