大学院入試の微分方程式の問題がわかりません！

質問

問題の式を書くとややこしいので画像を添付しました。

【初期条件： y(0)＝y0，y'(0)＝y1】

画像の微分方程式について
(1) 変数変換 u＝( x^2 + 2 )y を行って、uに関する微分方程式を導け
(2) (1)で導いた微分方程式を解くことで、元の微分方程式の解yを求めよ
(3) 【x→∞】lim y(x)を計算せよ また、【x→-∞】lim y(x)が存在するためのy0，y1の条件を求めよ

(1)の変数変換を行うときに
uを微分してu'　u''　を出し
それらをy　y'　y''　の式に直して代入すればできると思うのですが
その変形がややこしすぎて何回やっても間違えてしまいます
そこで知識ある皆様のお力をお貸しいただければと思い質問しました。
何卒よろしくお願い致します。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足について

>y＝u/(x^2+2)
>y'＝{(x^2+2)u'-2xu}/(x^2+2)^2　←　これは合っている。
>y''＝{u''-4(x^2+2)u'+2(4x-1)u)}/(x^2+2)^3 ←　間違い

>となりますか？

y'は合ってますが、y''が間違っています。
なので
>これを代入しても整理しきれる気がしません・・・
間違った式を代入しても整理できるはずがありませんね。

y''を計算すると
y''={(x^2+2)^2*u''-4x(x^2+2)u'+2(3x^2-2)u}/(x^2+2)^3
となるはずです。

このy''の式を使って、y,y',y''を与微分方程式に代入して整理して見てください。
途中の計算で計算間違いをしないようにチェックしながら計算願います。
（なお、小生は式の整理は数学ソフトを使って計算式を確認していますのでA#1の計算で間違いないと思います。)

整理すると
A#1の(1)のように 分子分母が約分できて

>　u''+(1/2)u'=x　...(A)

と簡潔な式が出てきます。

お礼

何度も親切に対応して下さって、ありがとうございました。
整理できなくて悩んでいたのですが、きれいにまとめることが出来ました。
また、ベストアンサーを選ぶのが遅くなってしまって申し訳ありませんでした。

回答No.4

Ae610

横レス失礼・・・！
(1) 変数変換 u＝( x^2 + 2 )y を行って、uに関する微分方程式を導け
・・・というヒントがあるのでそのまま活用すればよいのではないだろうか・・！

u＝(x^2＋2)y
u' = (x^2＋2)y'＋2xy
u" = (x^2＋2)y"＋4xy'＋2y

(x^2＋2)y"＋(x^2/2＋4x＋1)y'＋(x＋2)y = x
・・・の左辺を整理し直してみると
{(x^2＋2)y"＋4xy'＋2y}＋(1/2)・{(x^2＋2)y'＋2xy} = x
これより直ちに
u"＋1/2u' = x
・・・が出せる・・・！
わざわざ分数関数にして微分をややこしくする必要はないと思う・・！

回答No.2

info22_

#1です。

(3)の後半を書き忘れましたので補足します。

(3)の後半

(2)より
>　y(x)={4y1+2y0+8-4(y1+2)e^(-x/2)+x^2-4x}/(x^2+2)
lim(x→-∞)y(x)が存在する為には
e^(-x/2)の係数=-4(y1+2)=0、すなわち y1=-2であればよい。
このとき
　lim(x→-∞)y(x)=lim(x→-∞) (2y0+x^2-4x)/(x^2+2)
=lim(x→-∞) (2x-4)/(2x)=2/2=1 (ロピタルの定理適用)
となって極限値1が存在する。

補足

ご回答ありがとうございます
しかしながら未だに(1)の計算が合いません

y＝u/(x^2+2)
y'＝{(x^2+2)u'-2xu}/(x^2+2)^2
y''＝{u''-4(x^2+2)u'+2(4x-1)u)}/(x^2+2)^3

となりますか？
これを代入しても整理しきれる気がしません・・・

回答No.1

info22_

(1)
y=u/(x^2+2)を与微分方程式に代入すれば

　u''+(1/2)u'=x　...(A)

が導出できます。

(2)
(1)の微分方程式(A)を解けば

　u(x)=c1+c2*e^(-x/2)+x^2-4x

　y=u(x)/(x^2+2)={c1+c2*e^(-x/2)+x^2-4x}/(x^2+2) ...(B)

【初期条件： y(0)＝y0，y'(0)＝y1】より
　y(0)=(c1+c2)/2=y0
　y'(0)=-(c2/4)-2=y1
c1,c2について解けば
　c1=4y1+2y0+8,c2=-4y1-8
(B)に代入することにより
　y(x)={4y1+2y0+8-4(y1+2)e^(-x/2)+x^2-4x}/(x^2+2)

(3)
　lim(x→∞)y(x)=lim(x→∞)(4y1+2y0+8+x^2-4x}/(x^2+2)
=lim(x→∞) (2x-4)/(2x) =2/2=1
(ロピタルの定理適用)