微分方程式問題

質問

(1)x^2y"+xy'-4y=xでy=x^nと変数変換し、右辺＝０とした時、nの値は+2,-2で合っているでしょうか？自信がありません。またy=axが解になるようにaの値を求める事と、それとは別に一般解の求め方もわかりません。
(2)(1-x^2)y"-xy'+4y=0で変数変換x=costで解けとあるのですが最後まで解くことができません。
微分方程式は経験とカンだと聞いたのですが、初心者な者でまだよく理解できません。この(1)(2)についてどうかよろしくお願いします。

回答No.1

yaksa · ベストアンサー

(1)
＞y=x^nと変数変換し
変数変換したわけではありません。y=x^nという解を仮定したわけです。
で、y=x^n を右辺＝０にした微分方程式代入すると、n=±2がでてきます。したがって、
y=Ax^2+Bx^(-2)
が、右辺＝０にした微分方程式の解です。
でも、本当は右辺は０でなくてxなので、それをみたす特解を１つ見つけなければなりません。
それで、y=ax という形の解を仮定して、もとの微分方程式に代入してみると、a=-1/3とすればよいことがわかります。
結局、一般解は、
y=-x/3 + Ax^2 + Bx^(-2)
です。

(2)
x=cos(t)と置換すると、
dy/dt = dx/dt*dy/dx = -sin(t)*y'
d^2y/dt^2 = -cos(t)y' + (sin(t))^2*y''
で、こいつらをもとの微分方程式に代入して整理すると、
d^2y/dt^2 + 4y = 0
ていう見慣れた微分方程式になります。一般解は
y=Acos(2t) + Bsin(2t)
したがって、
y=A(2x^2-1) + 2Bx√(1-x^2)
かな。

お礼

ありがとうございました。また不明点等があり質問させて頂いた時はよろしくお願いします。