微分方程式の問題です。

質問

微分方程式の問題です。「d^2v/dr^2+(1/r)*dv/dr=a (aは定数)を解く際、u=dv/drとおくと、変数変換したもとの微分方程式の同次方程式の解がu=C/r (Cは定数)で与えられ、次にu=(C/r)*wとおいて、wを求めれば、再び変換することでvを求めることができる。」というのは定数変化法を用いていると思うのですが、u=C/rが求められた時点でu=dv /drを使ってvを求めて、その後定数変化法を用いてvを求めるとうまく求められません。また、変数変換後に定数変化法を用いるのに何か条件などは必要ないのでしょうか？どなたかご教授願います。

回答No.3

Har-mo-nize · ベストアンサー

順序を変えて２階同次微分方程式の一般解を求めてから定数変化法を用いても非同次方程式の一般解を求めることはできます。（定数２つ分の定数変化法になるので手間はかかりますが。）

u=C/rを積分してv=C*log(r)+C' (C':定数)を求めた後、定数変化法でv(r)=A(r)*log(r)+B(r)とします。
v(r)の基本解はlog(r),1ですので、ロンスキー行列式WはW(r)=-1/rとなります。
ここからA(r),B(r)を求めますと、
A(r)=-∫(-r)*1*a dr =ar^2/2+C1
B(r)=∫(-r)log(r)*a dr =-(ar^2/4){2log(r)-1}+C2　（ただし、C1,C2:定数）
となり、非同次方程式の一般解v(r)が求められます。
v(r)=(ar^2/2+C1)*log(r)-(ar^2/4){2log(r)-1}+C2 =ar^2/4+C1*log(r)+C2

お礼

なるほど、そうすればよかったんですね。ありがとうございました。

回答No.2

NemurinekoNya

NRTHDKさん、ゴメン、計算をまちがえているね。微分・積分するの久しぶりなもので(^^ゞ
正しくは

(1/r)*d(r*dv/dr)/dr = a
d(r*dv/dr)dr = a*r
r*dv/dr = (1/2)*a*r^2 + c1
dv/dr = (1/2)*a*r + c1/r
v = (1/4)*a*r^2 + c1*log(r) + c2

ですね。

お礼

すみません。変数変換しなくても求まるのは知ってました。ただ、これから他の微分方程式を解く際にも応用できそうな方法を模索していたのでした。回答ありがとうございました。

回答No.1

NemurinekoNya

学生の頃に読んでいた数学の本（「微・積分の根底を探る」稲葉光男・現代数学社）に書いてあった微分方程式の「一般解の怪」という奴ですね。微分方程式の一般解は、何しろ、解法によって幾通りも見かけの違う一般解が出現しますから。（例は「微・積分の根底を探る」を見てください。）
見掛けの違う一般解が求まったからといって、その見掛けの違いにこだわってもしょうがないんじゃないですか。求まった一般解を微分して、それを微分方程式に代入して、それが成立すれば、その解は間違いなく一般解（の一つ）ですよ。

で、問題の微分方程式ですけれど、変数変換をしなくても簡単に求まるんじゃないですか。

d^2v/dr^2 + (1/r)*dv/dr = a
(1/r)*d(r*dv/dr)/dr = a
d(r*dv/dr)/dr = a*r
r*dv/dr = a*r + c1
dv/dr = a + c1/r
v = a*r + c1*log(r) + c2

計算が間違っていなければ、これでいいはずですが。