微分方程式の問題で

質問

微分方程式の問題で

「a,bが任意定数のとき、次式が一般解になるような最小階数の微分方程式を示せ。
　y = ax^2 + 2bx」

の答えがわかりません。

答えは一階の微分方程式で
(dy/dx) + y = ax^2 + 2(a+b)x +2b
となるのか
二階での微分方程式で
x^2 * y" - 2xy' +2y = 0
となるのかで迷っていて、
一階の微分方程式が特殊解なのか一般解なのかの判断がつかないと言う状況です。
というのも教科書には
「限定状況を与えなければｎ階の微分方程式にはｎ個の任意定数を含む」
とあるのですがこの限定条件がわからなくて判断がつきません。

どちらが正しいのでしょうか？

回答No.1

mercha120

下の方の式
x^2 * y" - 2xy' +2y = 0
が答えでいいのではないでしょうか？

上の方の式だと定数a,bが混じってて、これでは「微分方程式」とはいえないと思います。

僕も数学系の学科に属しているというだけで、専門家ではないので詳しくは分かりませんが、
「限定状況を与えなければｎ階の微分方程式にはｎ個の任意定数を含む」
とは、ここではn=2として
「限定状況を与えなければ2階の微分方程式には2個の任意定数を含む」

2階(2回)とは2階微分のことで、ここでは y"のことですよね。
つまり y"の出てくる微分方程式のことを2階微分方程式と言って、その一般解は2個の任意定数(ここではa,bの2つですね)を持ちますよということです。

限定条件とは、例えば「初期条件」などで、「初期条件を一般解に代入したら、任意定数が1個消えた」的なものではないでしょうか。特に何も書いてないから、考えなくていいと思います。

乱文で失礼致しました。