【微分方程式】

質問

定数係数常微分方程式の質問です。

関数y=y(x)について、
y''-2ay'+y=0 (-∞<x<∞) を考えます。

y=A exp(λx) とおき、得られた特性方程式を解いて
一般解を求めました。
以下、非自明解を考えます。

(1)a=0のとき、非自明解はすべて周期解となることを示せ。
オイラーの公式より 示すことができました。

(2)a>0のとき、非自明解は周期解を持たないことを
(i)0<a<1,(ii)a=1,(iii)1<a<∞の場合に分けて示せ。
との問題なのですが、いくら考えてみても、
(i)0<a<1のとき、e^iが残ってしまい、
周期解になってしまって、困っています。

どなたか数学に詳しい方がおられましたら、
よろしくお願い致します。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

特性方程式の解は

1)a=0のとき

λ=±i

y=be^(ix)+ce(-ix)=dcos(x)+esin(x)

これは周期2Πの周期関数です。

2)0<a<1のとき

λ=a±i√(1-a^2)=a±wi

y=be^((a+wi)x)+ce^((a-wi)x)=e^(ax)[be^(wix)+ce^(-wix)]=e^(ax)[dcos(wx)+esin(wx)]

これは[dcos(wx)+esin(wx)]は周期2Π/wの周期関数ですがe^(ax)により、

ｘとともに指数関数的に振幅が増加する関数で、ｙは周期関数ではありません。

3)a=1のとき

λ=1（2重解）

このとき

y=(b+cx)e^x

という解になり周期関数ではない。

4)a>1

λ=a±√(a^2-1)=a±a'

y=be^((a+a')x)+ce^((a-a')x)

これは2つの指数関数の和であって、周期関数ではありません。

お礼

回答頂きありがとうございます！
すごく丁寧な説明で、
よく理解することができました。
ありがとうございました！

回答No.1

sunflower-san

おそらく 0<a<1 のときに、特性方程式が複素共役な根を持つため "e^iが残ってしまい" とおっしゃっているのですね。

0<a<1のとき、あなたは y がどのような周期を持つと考えたのですか。
以下はあなたの勘違いの箇所を推測したものです。「そこじゃない」という場合は補足でどうぞ。

特性方程式が複素共役な根を持つ場合、
複素共役な根を r + si, r - si (r, s は実数)として、解

y(x) = A exp((r + si)x) + B exp((r - si)x)

はどのような周期性を持つでしょうか？

例えば、
y(x) = exp(rx) { A exp(six) + B exp(- six) }
と纏めてみると x = 2π/s という周期をもつように思われるかもしれません。しかしexp(rx)という因子のため
y(x+2π/s) = exp(2πr/s) y(x)
となって、定数倍ずれてしまい、これは完全な周期にはなりません。

あるいは、A≠0, B = 0 であるような特殊解
y(x) = A exp((r + si)x)
について、2πi/(r + si) が周期になるということでしょうか？

実際、x を複素変数とした場合 2πi/(r + si) (の整数倍)は周期になります。
ただし、今は(-∞ < x < ∞) とあるように定義域を実数と考えているので、周期も実数でないといけません。そして周期が実数となるのは、根 r + si が純虚数である場合、すなわち a = 0 の場合に限ります。

お礼

まさにsunflower-sanの推測通りの（私の）勘違いでした。
すごく長い間悩んでいたので、
とても助かりました。
本当に有難うございました。