解けませんこの微分方程式

質問

いつもお世話になっています。
独学でなんとか線形微分方程式や同次型まで理解しています。今

y'+(1/x)y+y^2-1/x^2＝0

という方程式を解こうとしています。特殊解はとりあえず1/xが見つかりました。問題は一般解を求めるのですが、試しに最終的に求めたい
線形結合の解yをy＝k+1/xとおいて（kが一般解です）代入し、
kとxの微分方程式を作りました。
果たしてここまであっているのかわからないのですが、ここから手が止まっています。また変数変換したりするのでしょうか。
わかる方詳しく教えていただけないでしょうか。お願いします。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

＃１さんの正しい置換を借りて，一般解を求めてみます．
与えられた微分方程式は，一階の非線形常微分方程式です．

y'＋(1/x)y＋y^2－1/x^2＝0

u を　x　の関数として，

y＝u/x

とおきます．y＝u/x　の両辺を　x　で微分すると

y'＝(xu'－u)/x^2

です．y'＝(xu'－u)/x^2　と　y＝u/x　を元の微分方程式に入れて，
計算・整理すると，

(xu'－u)/x^2＋(1/x)(u/x)＋(u/x)^2－1/x^2＝0

u'/x－(u/x^2)＋(u/x^2)＋(u/x)^2－1/x^2＝0

u'/x＋(u/x)^2－1/x^2＝0

u'＋(u^2/x)－1/x＝0

u'＝－(u^2/x)＋1/x

u'＝(1－u^2)/x

du/dx＝(1－u^2)/x

と，＃１さんの言われた通りになります．これを積分すると，

du/(1－u^2)＝1/x dx

∫du/(1－u^2)＝∫1/x dx ＋C　　　　　　（C は積分定数）

(1/2)log|(1＋u)/(1－u)|＝log(x) ＋C

[(1＋u)/(1－u)]^(1/2)＝Cx

ここで，u＝xy　をこの式に適用すると，

[(1＋xy)/(1－xy)]^(1/2)＝Cx

となります．これが一般解です．

この式：[(1＋xy)/(1－xy)]^(1/2)＝Cx　が元の式を満たすかを計算してみます．
この両辺を　x　で微分すると，

(1/2)[{(1＋xy)'(1－xy)－(1＋xy)(1－xy)'}/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝C

(1/2)[{(y＋xy')(1－xy)－(1＋xy)(－(y＋xy'))}/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝C

(1/2)[{(y＋xy')(1－xy)＋(1＋xy)(y＋xy')}/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝C

(1/2)[(y＋xy'){(1－xy)＋(1＋xy)}/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝C

(1/2){2}[(y＋xy')/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝C

[(y＋xy')/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝C

となります．一方，一般解は，

(1/x)[(1＋xy)/(1－xy)]^(1/2)＝C

なので，これらの２式を用いて　C　を消去すると，

[(y＋xy')/(1－xy)^2]*[(1＋xy)/(1－xy)]^(－1/2)＝(1/x)[(1＋xy)/(1－xy)]^(1/2)

と書けます．更に，計算すると，

(y＋xy')/(1－xy)^2＝(1/x)[(1＋xy)/(1－xy)]

(y＋xy')/(1－xy)＝(1/x)(1＋xy)

y＋xy'＝(1/x)(1＋xy)(1－xy)

y＋xy'＝(1/x)(1－(xy)^2)

y＋xy'＝(1/x)－(1/x)(xy)^2

y＋xy'＝(1/x)－xy^2

ここで，両辺に　(1/x)　を乗ずると

(1/x)y＋y'＝(1/x^2)－y^2

(1/x)y＋y'＝(1/x^2)－y^2

これを移項すれば，

(1/x)y＋y'－(1/x^2)＋y^2＝0

となり，与えられた微分方程式になります．よって，一般解

[(1＋xy)/(1－xy)]^(1/2)＝Cx

は，与えられた微分方程式を満たすことが確かめられました．

お礼

御丁寧にありがとうございました。

回答No.1

spring135

y=u/xとすると元の方程式は
u'=(1-u^2)/x
変数分離ができて一般解が求められる。QED