微分方程式の問題1

質問

分からないので教えてください

kを定数とする。
微分方程式　du/dt　=ku + k^2 -1
の任意の解がｔ→＋∞の時に3/2に収束するようなkの値を求めよ

回答No.2

nubou · ベストアンサー

出題者の意図が最終定理を使わせたいのかもしれないので一応書いておきます

Ｕ（ｓ）＝∫（０≦ｔ＜∞）ｄｔ・ｕ（ｔ）・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）とすると
ｓ・Ｕ（ｓ）－ｕ（０）＝ｋ・Ｕ（ｓ）＋（ｋ＾２－１）／ｓ
従って
Ｕ（ｓ）＝ｕ（０）／（ｓ－ｋ）＋（ｋ＾２－１）／（ｓ－ｋ）／ｓ
最終定理より
ｋ＝０のとき
ｕ（∞）＝ｌｉｍ（ｓ→０）・ｓ・Ｕ（ｓ）＝ｕ（０）＋（ｋ＾２－１）／（－ｋ）
ｋ≠０のとき
ｕ（∞）＝ｌｉｍ（ｓ→０）・ｓ・Ｕ（ｓ）＝（ｋ＾２－１）／（－ｋ）

ｕ（０）は任意だからｋ≠０である
従って（ｋ＾２－１）／（－ｋ）＝３／２を求めれば良い

回答No.1

shota_TK

変数分離して
du/(ku+k^2-1)=dt
これを積分すると・・・
-(1/k)ln[ku+k^2-1]=t
e^(-kt)=ku+k^2-1
となりますから，ｔ→＋∞の時にu=3/2とすると
0=2k^2+3k-2
となりますので，これを解けばいいのかな？