偏微分方程式のラプラス変換による解法

質問

皆様よろしくお願いいたします。
関数u(x,t)のtに関する偏微分∂u/∂t＝u_t、とxに関する2回偏微分∂^2　u/∂x^2=u_xxとおくとき

偏微分方程式　u_t = a*u_xx (aは正の定数）
初期条件：u(x,0) = 0
境界条件:∂u/∂x = u_x = -k　（kは正の定数）
　　　　　　　lim[x→∞]u(x,0) = 0

をラプラス変換して解を求めようとしてますが、ラプラス変換した式が導けません。
偏微分方程式の解は分かっていているので、解をラプラス変換すると答えは次式になるようです。

U(s,x) = k√a・exp( -x*√(s/a) ) / s^(3/2)

どのように導けばこうなるのかご教示ください。

ちなみに偏微分方程式の解は次式になります。（上式に入れて成り立つことを確認済み）
　u(x,t)＝2k√(at/π)・exp(-x^2/(4at)) - kx・erfc(x/√(4at))
（※erfcはガウスの余誤差関数です）

【途中までやってみた計算経過】
偏微分方程式を→s、x→yへそれぞれラプラス変換して整理すると
U(s,y)＝ak/{y(y^2-s/a)}
となりました。これをy→xへラプラス逆変換すると
U(s,x) =　-ka^2/s + ( ka^2/(2s) ) exp(-x√(s/a) ) + ( ka^2/(2s) )exp(x√(s/a) )
となり、答えになりません。
しかもこれだと3項目が境界条件lim[x→∞]u(x,0) = 0に従わず∞に発散してしまいます。

回答No.6

stomachman

ANo.5へのコメントについてです。

> ここから(1)＝a*(3)より


> (1)、(2)、(3)ともt=0で∞のため特異点

ということは、（ご質問にお書きの問題には解がないけれども）ご質問にお書きの「解」は、少なくとも
　「t>0の範囲内の至る所で、tについて1階微分可能かつxについて2階微分可能であって、
　　∀t∀x( t>0 ⇒ u_t(x,t)=a u_xx(x,t))
　　∀t(t>0 ⇒ u_x(0,t) = -k)
　　∀x(u(x,0)=0)
という条件を満たす実関数u(x,t)を求む」という問題についてなら、ひとつの解になってるということですね。

回答No.5

stomachman

ANo.4へのコメントについてです。

> 質問に記載させていただいた偏微分方程式と解になるのでしょうか。


　解が分かってるのなら、簡単なことです。
　解をtやxで微分して関係式を作ってみれば、それが微分方程式。で、あらゆるx,tについてその関係式が成立つのか、それとも成立たない特異点があるのかを調べれば、境界条件（初期条件も後悔条件の一種）が分かるでしょ。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。

＞解をtやxで微分して関係式を作ってみれば

x,tで微分すると以下のようになりました。
∂u/∂t = (ka/√(atπ))*exp(-x^2/√(4at))・・・(1)
∂u/∂x = -k*erfc(x/(2*√at))・・・(2)
∂^2u/∂x^2 = (k/√(atπ))*exp(-x^2/√(4at))・・・(3)

ここから(1)＝a*(3)より
∂u/∂t=a*∂^2u/∂t^2と微分方程式そのものになります。

(2)よりx=0のとき、∂u/∂x = -kと境界条件を満たします。

(1)、(2)、(3)ともt=0で∞のため特異点と考えてよろしいでしょうか。
とすると、u(x,0)=0でなければならないので、初期条件を満たすことになります。
こういった数学的知見にはうといため自信がありませんが。
以上はあっているでしょうか。

回答No.4

stomachman

> 初期温度分布がT_i一様で、表面の熱流束を突然一定の値


　もし仰る通りなのだとすれば、少なくともその「突然」の瞬間にはu(x,t)は熱方程式に従っていない、ということです。

> q_0/(λA)=-k・∂T/∂x)　(x=0,t>0)　

　右カッコを単独で使ってある意味が分かりません。ただのミスかと思っていたら、何度も繰り返しお使いになる。何ですかこれは？また、左辺は定数という意味なのか、それともtかxの関数なのか。
　ともあれ、もし仰るような条件を付けることが可能なのだとすれば、それは、少なくともx=0ではu(x,t)は熱方程式に従っていない、ということを意味します。

　ですから、問題を正しく理解なさっていないに違いないんです。

　もしかして、そのテキストの話は、
　　∀x∀t (x≠0 ⇒ u_t = a u_xx)
　　∀x (u(x,0) = c)
　　∀t (u_x(0,t) = d)
　　（ただしc, dは定数）
ってことじゃないですか？これなら意味が通じますけどね。

お礼

失礼しました。
q_0/(λA)=-k・∂T/∂x)　(x=0,t>0)
記号での記載に慣れていませんで申し訳ありません。"）"は余分でした。
テキストには微分の右下に添え字でx=0と書いてあります。
q_0/(λA)=-k・∂T/∂x)_x=0　　(t>0)　

小生理解不足で申し訳ありません。
逆に
どのような初期条件、境界条件であれば、
質問に記載させていただいた偏微分方程式と解になるのでしょうか。

参考ですが、本問題と関連する文献が掲載されているURLを添付いたします。
http://www.kz.tsukuba.ac.jp/~abe/ohp-heat/heat-04.pdf

回答No.3

stomachman

ANo.2へのコメントについてです。
　えとですね、どうやって解くかという話を始める以前に、そもそも問題を正しく認識なさっていないに違いないよ、という事を言ってるんです。

　全てのxについて
　　u(x,0)=0
なら、全てのxについて
　　u_xx (x,0) = 0
であり、従って、全てのxと、t≧0である全てのtについて
　　u(x,t)=0
ですってば。

　こう考えれば分かるかな？：
　　u_t = a u_xx
は熱方程式ですから、細い棒の温度分布u(x,t)の話だと思えば良い。初期条件がu(x,0)=一定（至る所等温）であれば、時刻tが経過しても何の変化も生じないのは当たり前。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
すいませんが、未だ分かりかねます。
小生の初期条件・境界条件の書き方が悪いことしか分かりません。
ご指摘の通り、偏微分方程式は熱伝導方程式
T_t=a・T_xx
です。初期温度分布がT_i一様で、表面の熱流束を突然一定の値
q_0/A=-λ*(∂T/∂x)　(x=0,t>0)
となった場合を解こうとしてます。
参照しているテキストには初期条件、境界条件については以下の記載があります。
T(x,0)=T_i
q_0/(λA)=-k・∂T/∂x)　(x=0,t>0)

解は
T-T_i=2k√(at/π)・exp(-x^2/(4at)) - kx・erfc(x/√(4at))
となっています。

式が複雑にならないよう
u=T-T_i、k=q_0/(λA)
と置いて質問させていただきました。
よって、質問に記載した初期条件・境界条件を以下とさせていただいた次第です。
u(x,0)=T-T_i=0
∂u/∂x)_x=0＝-k

よろしくお願いいたします。

補足

ここでの解は、
T-T_i=2k√(at/π)・exp(-x^2/(4at)) - kx・erfc(x/√(4at))
と記載してしまいましたが、q_0/(λA)=-k・∂T/∂x)ですので
T-T_i=2(q_0/λ/A))√(at/π)・exp(-x^2/(4at)) - (q_0/λ/A)x・erfc(x/√(4at))
です。たびたびすいません。

回答No.2

stomachman

ANo.1へのコメントについてです。

　微分方程式の初期条件として
　　u(x,0)=0
と書けば、これはu(x,0)がxについて恒等的に0、すなわち
　　∀x(u(x,0)=0)
って意味です。
　すると、u_x(x,0)=u_xx(x,0)=0。kが正の定数ということはあり得ない。そしてu(x,t)=0が唯一の解。

ですよね？

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
ご指摘の通り
t=0のときは、u(x,t)=0が唯一の解のようです。
t>0のときは、u(x,t)≠0ですよね？
最初の境界条件を間違えて申し訳ありませんが、
訂正させていただいた境界条件は
∂u/∂x)_(x=0) = u_x = -k　（t>0）
すなわち、u_x(0,t)=-k（kは正の定数）ですが、
どこか間違いがありましたらご教示をお願いいたします。

回答No.1

stomachman

「初期条件」と「境界条件」が矛盾してるし「境界条件」そのものも矛盾してるから、そもそも解がないとおもうけどね。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
すいません。境界条件が間違っていたようです。

境界条件：∂u/∂x)_(x=0) = u_x = -k　（t>0）

よろしくお願いいたします。