偏微分方程式の問題

質問

偏微分方程式の問題

φ(x,y)に関する偏微分方程式∂^2φ/∂x^2＝-∂φ/∂yについてφ(x,y)＝X(x)Y(y)と解を変数分離して解け。ただしY'(x)/Y(y)＞0とする。

この問題教えて下さい。お願いします

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

とりあえず、偏微分方程式にφ(x,y)=X(x)Y(y)を代入します。

左辺=(∂^2/∂x^2)X(x)Y(y)=Y(y)X''(x)
Y(y)はxを含まないのでxに関する偏微分では定数とみなせる。
X(x)はxだけの関数であるので偏微分は常微分とみなせる。

右辺=-(∂/∂y)X(x)Y(y)=-X(x)Y'(y)

Y(y)X''(x)=-X(x)Y'(y)

となります。この両辺をX(x)Y(y)で割ると
X''(x)/X(x)=-Y'(y)/Y(y)

この式の左辺はxだけの関数であり、右辺はyだけの関数である。
これが等しいということはこの式の値は定数ということになる。
その値は負であるから-m(m>0)とでもおくと
X''(x)/X(x)=-m
Y'(y)/Y(y)=m

あとはこの常微分方程式を解くだけ。