2階微分方程式の問題について

質問

下記の微分方程式についての質問です。

k * (d^2 y/dx^2) = a * y^2 …(1)

ここで、k, a は定数、(d^2 y/dx^2)はyの2階微分（つまりy''）を表しています。また、* は積を表しています。

この2階微分方程式の一般解を求めたいのですが、詰まっています。

私のやり方は、まず(d^2 y/dx^2)=y'' として
k * y'' = a * y^2 …(2)

(2)の両辺に2y'をかけて
k*y''*2y' = a * y^2 * 2y'

これより
( k * (y')^2 )' = ( 2a* (y^3/3) )'

両辺を積分して
k * (y')^2 = (2a/3) * y^3 + C1 …(3)
(ただしC1は積分定数)

このあと、変数分離すればとけるはずなのですが、
その先が詰まっています。
C1があるせいで積分できないのです。
これは一般解が求められないのでしょうか？

また、初期条件は
x=0でy=y0、x→∞でy=0
なので、x→∞でy'=0 と考えて、(3)よりC1=0 として考えると、
うまく変数分離できて
y^(-3/2) dy = √(2a/3k) * dx

∴ y^(-1/2) = (-1/2) * √(2a/3k) *x + C2
(C2は積分定数)
∴ y = ((-1/2) * √(2a/3k) *x + C2)^(-2) …(4)
初期条件より
C2 = y0^(-1/2)

という感じで解いていったのですが、
どうやら解答は
y = p * (x + q)^(-2)
ただし、p = 6k/a, q = (a*y0/6k)^(-1/2)
となるようです。。。

何度見直してもこうならないのですが、
私の計算ミスでしょうか。。。？

(i) 式(3)の一般解
(ii) 式(4)が合っているか
に関して、どなたか知恵をお貸しいただければ幸いです。

数式見づらくて恐縮です。

回答No.1

de_Raemon · ベストアンサー

定数のaとkは、a＞0,k＞0としていいんですか？
もしそうなら、

(2a/3k)y^3＝y'^2＞0　→　y＞0　(1)

また

(2a/3k)y^3＝y'^2　→　y'＝±(2a/3k)^(1/2)*y^(3/2)　(2)

(1)の条件「任意のxに対しy＞0」を満たしかつ、初期条件「x→∞でy＝0」を満たすためには
(2)式の符号のうちマイナスを用いなければいけません。ゆえに

y'＝-(2a/3k)^(1/2)*y^(3/2)　(3)

あとは質問者さんがやったように変数分離で解いていけば

y^(-3/2) dy＝-√(2a/3k) * dx

y^(-1/2)＝(1/2) * √(2a/3k) *x + C2

初期条件よりC2＝y0^(-1/2)

y^(-1/2)＝(1/2) * √(2a/3k) *x + y0^(-1/2)
＝√(a/6k)(x + √(6k/ay0))＝p^(-1/2)(x + q)

∴y＝p * (x + q)^(-2)

お礼

ご返事遅くなりましてすいません。

みなさんご丁寧な回答本当に有難うございました。
2乗をほどく際に、プラスマイナス両方の可能性があるということを完全に見落としていました・・・。
そのために数日も悩んでいたため、とても情けない限りです。。。

みなさんのご回答のおかげで解決することができました。
みなさんに得点を差し上げたいのですが、システム上どうしようもないので、
質問直後、早々にご回答をくださったde_Raemonさんに20ptを、
細部にわたるまでご丁寧に解説・回答をしてくださったgef00675さんに10ptを差し上げたいと思います。

ポイントは差し上げられませんが、arrysthmiaさんには背景知識に関してのご説明をいただき、大変勉強になりました。ありがとうございました。
そのようなことは少なくとも私の持っている微分の専門書には書かれていなかったため、この形の微分方程式が初等関数の一般解をもたないということを理解・納得することができました。

みなさん本当にありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

(i)

(y ')^2 が y の三次多項式で表される関数を
ワイエルシュトラスのペー関数 ↓ という。
http://d.hatena.ne.jp/kame_math/20090119/p1
これは、楕円関数 ↓ と呼ばれる関数の一員で、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E9%96%A2%E6%95%B0
初等関数（多項式と指数と対数と三角関数の組み合わせ）
では、表示できない。
ただし、y の三次式が重根を持つ場合には、退化して、
楕円関数ではなく、初等関数となる。
その計算は、No.1 No.2 にある通り。

お礼

ご返事遅くなりましてすいません。

みなさんご丁寧な回答本当に有難うございました。
2乗をほどく際に、プラスマイナス両方の可能性があるということを完全に見落としていました・・・。
そのために数日も悩んでいたため、とても情けない限りです。。。

みなさんのご回答のおかげで解決することができました。
みなさんに得点を差し上げたいのですが、システム上どうしようもないので、
質問直後、早々にご回答をくださったde_Raemonさんに20ptを、
細部にわたるまでご丁寧に解説・回答をしてくださったgef00675さんに10ptを差し上げたいと思います。

ポイントは差し上げられませんが、arrysthmiaさんには背景知識に関してのご説明をいただき、大変勉強になりました。ありがとうございました。
そのようなことは少なくとも私の持っている微分の専門書には書かれていなかったため、この形の微分方程式が初等関数の一般解をもたないということを理解・納得することができました。

みなさん本当にありがとうございました。

回答No.2

gef00675

式(3)の積分は、楕円積分といって、一般には初等関数で表せません。一般解はあきらめて、初期条件から、C1=0として計算してよいと思います。
計算が少々雑です。注意深く計算しましょう。
y'^2 = (2a/3k)* y^3から、
y0>0なら、2a/3k>0、
y0<0なら、2a/3k<0であることが必要です。
平方根をとると、
y' = ±√((2a/3k)* y^3)
の２通りがありますが、x→∞でy→0のことから、
y0>0ならy'<0（単調減少）、y0<0ならy'>0（単調増加）になります。（そうでないとy→0にならない）
y0＞0の場合は、
y' = - √(2a/3k)* y^(3/2)
を積分しますが、いいかげんに積分定数をおくと間違いのもとなので、きっちり積分しましょう。
-2 (y^(-1/2)-y0^(-1/2)) = -√(2a/3k) * (x - 0)
y^(-1/2) = √(a/6k) * x + y0^(-1/2)
y = (√(a/6k) * x + y0^(-1/2))^(-2)
一方、y0＜0の場合は、y<0なので
y' = √(-2a/3k)* (-y)^(3/2)
を積分して
2 ((-y)^(-1/2)-(-y0)^(-1/2)) = √(-2a/3k) * (x - 0)
(-y)^(-1/2) = √(-a/6k) * x + (-y0)^(-1/2)
y = -(√(-a/6k) * x + (-y0)^(-1/2))^(-2)
となりました。上の二つの結果を１つにまとめて表したのが、解答の式のｐ、ｑです。

お礼

ご返事遅くなりましてすいません。

みなさんご丁寧な回答本当に有難うございました。
2乗をほどく際に、プラスマイナス両方の可能性があるということを完全に見落としていました・・・。
そのために数日も悩んでいたため、とても情けない限りです。。。

みなさんのご回答のおかげで解決することができました。
みなさんに得点を差し上げたいのですが、システム上どうしようもないので、
質問直後、早々にご回答をくださったde_Raemonさんに20ptを、
細部にわたるまでご丁寧に解説・回答をしてくださったgef00675さんに10ptを差し上げたいと思います。

ポイントは差し上げられませんが、arrysthmiaさんには背景知識に関してのご説明をいただき、大変勉強になりました。ありがとうございました。
そのようなことは少なくとも私の持っている微分の専門書には書かれていなかったため、この形の微分方程式が初等関数の一般解をもたないということを理解・納得することができました。

みなさん本当にありがとうございました。