数IIBの問題です！

質問

問、平面上に
|aベクトル|=|bベクトル|=2、|aベクトル－bベクトル|=2√3
を満たすaベクトル、bベクトルがある。
(pベクトル－aベクトル)・(pベクトル－bベクトル)=0
を満たすpベクトルについて、|pベクトル| の最大値と最小値を求めよ。また、最大値、最小値を与えるそれぞれのpベクトルを、aベクトルとbベクトルで表せ。

というどれだけ考えてもできない問題がありまして、少しでも手伝ってくださる方おねがいします＞_＜

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>|aベクトル|=|bベクトル|=2、|aベクトル－bベクトル|=2√3
余弦定理を使えば、aベクトルとbベクトルのなす角は120°と出てきます。

>(pベクトル－aベクトル)・(pベクトル－bベクトル)=0
このことから添付図のように
(pベクトル－aベクトル)と(pベクトル－bベクトル)は直交する。
添付図のように ∠APB=90°ということ、すなわちPはABを直径とする円周上にPが存在することが判る。
したがって、図から
OP=|pベクトル|の最大値=OQ=OC+CQ=1+(1/2)AB=1+√3
OP=|pベクトル|の最小値=OR=CR-OC=(1/2)AB-1=(√3)-1
であることが判る。

お礼

回答ありがとうございます！
図までありがとうございます。よくわかりました^^

回答No.4

spring135

なんだかユークリッド幾何のありふれた問題を無理やりベクトルに書き換えて、学生をたぶらかしているような問題ですね。

最大最少なので便利な解析幾何にしましょう。ベクトルは始点を問いません。

ベクトルの始点をxy平面の原点Oにとりましょう。↑でベクトルであることを示します。

OA↑＝aベクトル、OB↑＝bベクトル、OP↑＝ｐベクトル

点Aを(2,0)にとり条件からBの座標を求めます。

∠AOB=θとすると余弦定理より

cosθ=(OA^2+OB^2-AB^2)/2/OA/OB=(2^2+2^2-(2√3)^2)/2/2/2=-1/2

θ=2π/3　つまり二等辺三角形AOBの頂角は１２０°です。

B（-1、√3）がわかりますか。

＞(pベクトル－aベクトル)・(pベクトル－bベクトル)=0

はPA↑とPB↑が直交することを意味します。

よって三角形APBは直角三角形です。

従ってPはABを直径とする円周上にあります。

円の中心はABの中点で

C（1/2、√3/2）

半径はAB/2=√3

円の方程式は

(x-1/2)^2+(y-√3/2)^2=3　　　(1)

最大、最小はOCの延長上にPが来た時で各々1+√3、√3-1というのは容易に図から見て取れるが、

L=OP^2=x^2+y^2を(1)のもとに最大、最小を求めてもよい。

Lは(1)をもちいると

L=2+x+√3yなので円に接する所が最大最少を与える。

その接点は予想通りOCの上下の延長線と円が交わることろである。

a↑+b↑上にあり、長さが2であることがわかりますか。

このことから

最大値を与えるp↑は

[(1+√3)/2](a↑+b↑)

最少値を与えるp↑は

[(1-√3)/2](a↑+b↑)

お礼

回答ありがとうございます！
円を上手く利用ですね^^

回答No.2

alice_44

とりあえず、長さの条件を内積に翻訳して、
|ベクトルa| = |ベクトルb| = 2　は
a・a = b・b = 4。
|ベクトルa - ベクトルb| = 2√3 は
(2√3)^2 = (a - b)・(a - b)
= a・a -2a・b + b・b。
以上より、a・b = (4 + 4 - (2√3)^2)/2 = -2。
a・b ≠ ±|a||b| であることから、
ベクトルa と ベクトルb は一次従属でない。

a と b が一次独立であり、p, a, b は同一平面上にあるから、
a, b を基底として、p を p = xa+yb (x,yは実数) と
表すことができる。
この御膳立てができれば、後は計算問題になる。

制約条件
(ベクトルp - ベクトルa)・(ベクトルp - ベクトルb) = 0
すなわち
0 = (p-a)・(p-b) = (xa+by-a)・(xa+by-b)
= {(x-1)x}a・a + {(x-1)(y-1)+xy}a・b + {y(y-1)}b・b
= {(x-1)x}4 + {(x-1)(y-1)+xy}(-2) + {y(y-1)}4
= 4{ x^2 - xy + y^2 - (1/2)x - (1/2)y - 1/2 }
の下に、

目的関数(の２乗)
|p|^2 = p・p = (xa+yb)・(xa+yb)
= (x^2)a・a + (2xy)a・b + (y^2)b・b
= (x^2)4 + (2xy)(-2) + (y^2)4
= 4{ x^2 - xy + y^2 }
の最大値,最小値を探せばよい。

また、制約条件下に
|p|^2 = 4{ x^2 - xy + y^2 }
= 4{ (1/2)x + (1/2)y + 1/2 }
= 2(x + y + 1)
が成り立つ。

0 = 4{ x^2 - xy + y^2 - (1/2)x - (1/2)y - 1/2 }
は、二次曲線を標準化して
(1/3)(x+y-1)^2 + (x-y)^2 = 1
と書ける。これより、x+y-1 の変域が
-√3 ≦ x+y-1 ≦ √3 であることが判る。

従って、
2(2-√3) ≦ 2(x+y+1) ≦ 2(2+√3) より、
√(4-2√3) ≦ |p| ≦ √(4+2√3)。

最大値 |p| = √(4+2√3) = 1+√3 となるのは、
上記より x-y = 0, x+y-1 = √3 のときで、
連立一次方程式を解けば、(x, y) = ((1+√3)/2, (1+√3)/2)。

最小値 |p| = √(4-2√3) = -1+√3 となるのは、
上記より x-y = 0, x+y-1 = -√3 のときで、
連立一次方程式を解けば、(x, y) = ((1-√3)/2, (1-√3)/2)。

ひと昔前の高校生には、普通の計算だが、
昨今の高校生には、少しシンドイかもしれない。
実は、制約条件を図形的に解釈して
初等幾何の問題にしてしまうと、
中学生でも解ける範囲なのだが、そっちの解法は
自分で見つけてください。

お礼

回答ありがとうございます！
たしかに計算がしんどそうですね、、でも本当に色んな解き方があるとわかりました^^

回答No.1

Masami_Fujii

どれだけ考えてもって、どう試行錯誤したのですか？　それを記載しましょう。
カンニングと大差ないと勘違いしてしまいますから。

まあ、極端な話、平面上と限定しているのだから、（aベクトル）＝(a1,a2)と
定義するようにして考えていけばいい。あとは積が零になる事も利用すればいい。

お礼

回答ありがとうございます！
ヒント参考にさせていただきます^^