軌跡の問題の解き方教えてください

質問

座標平面上に定点Ａ（6，0）、Ｂ（３，３）と円Ｃ Ｘ²＋Ｙ²＝９がある。
（１） 点Ｐが円Ｃ上を1周するとき、点Ａ，Ｂ，Ｐを頂点とする三角形△ＡＢＰの重心Ｇの軌跡の方程式を求めてください。
（２） （1）の軌跡上を動く点の座標（Ｘ，Ｙ）に対して
（ⅰ） Ｘ²＋Ｙ² の最大値と最小値を求めてください。
（ⅱ） Ｙ－１/Ｘ の最大値と最小値を求めてください。

解き方わかる方教えてください。

回答No.6

info22

#2,#3,#5です。
問題だけ書いて投稿することはマナー違反、それに回答者が丸回答することも禁止事項になっていますので、質問者さんが何もしないで丸解答を待っていても、丸解答は期待できません（丸解答すれば質問が削除対象になるので）。

なので解答を最後まで完成させるのは質問者さんにやっていただかないといけません。分かる範囲で回答者のアドバイスや手助けをまとめて解答を作りその計算過程を補足に書いて下さい。その上で分からないことはさらに補足で質問を繰り返して、回答者にアドバイスを貰うようにして下さい。そうしないと問題の解答がいつまでも最後に辿り着けません。回答者には最後まで解答ができていますが丸解答することができないので、質問者さんの自助努力の取組みや解答の進み具合を見させていただいてアドバイスしていくことになります。

応答してどこまで解決し、どこでどう行き詰っているかを補足に書いていただかないと、回答者はどこをアドバイスして良いかわかりませんよ。

三角形の重心Gは、どこかの頂点（Pとします）から対辺（ABとします）の中点Mに引いた線分PMを2:1に内分した点です。
また、座標でいえば、三角形の頂点A,B,Pの位置ベクトルの和の(1/3)でも与えられます。

後者の考えでA#2ではG(x,y)を求めると
(x,y)={(6,0)+(3,3)+(3cost,3sint)}/3
=((6+3+3cost)/3,(3+3sint)/3)
=(3+cost,1+sint)
を求めています。
　x=3+cost,y=1+sintですから
　cost=(x-3),sint=y-1
これを (cost)^2+(sint)^2=1
の代入して
　(x-3)^2+(y-1)^2=1
がPの軌跡になります（A#2,A#3の図の赤い円）。

回答No.5

info22

#2,#3です。
A#3の補足
添付図から(0,1)を通る接線
y=1+(kmax)xと
y=1+(kmin)x
の傾きkmaxとkminは
SQ=3,QR=QT=1と直角ΔQSR,ΔQSTに3平方の定理を適用すれば
SR=ST=√(3^2-1^2)=√8=2√2
従って
kmax=tan∠QSR=RQ/SR=1/(2√2)
同様に
kmin=tan(-∠QST)=-tan(∠QST)=-TQ/ST=-1/(2√2)

kmax が k=(y-1)/x の最大値
kmin が k=(y-1)/x の最小値
になりますね。（(2)(ii)の答えになります。）

A#2,A#3に書いたことで分からないところがあればやった途中計算を補足に書いて、分からない所の質問をして下さい。

回答No.4

mister_moonlight

方法は幾つもあるが、まず計算だけでやってみよう。

重心の軌跡は、（x-3）＾2＋（y-1）＾2＝1であるから、x＝cosθ＋3、y＝sinθ＋1、0≦θ＜2πと置ける。
よつて、x＾2＋y＾2＝（cosθ＋3）＾2＋（sinθ＋1）＾2＝11＋2√10*sin（θ＋α）より、11-2√10≦x＾2＋y＾2≦11＋2√10。
又、（y-1）/x＝（sinθ）/（cosθ＋3）＝kとすると、sinθ-k*cosθ＝√（k＾2＋1）＝3k　であるから、この方程式を満たすθが存在するから、｜3k｜/√（k＾2＋1）≦1　→　｜k｜≦1/（2√2）。

（別解）

x＾2＋y＾2＝r＾2　r＞0とすると、これは原点を中心とする半径rの円であるから、円：（x-3）＾2＋（y-1）＾2＝1と外接する時にrは最小になり、円：（x-3）＾2＋（y-1）＾2＝1と内接する時に最小となる。
よって、最大は、r＋1＝√10、最小は　r-1＝√10の時であるから、11-2√10≦r＾2≦11＋2√10。
又、（y-1）/x＝kとすると、これが、円：（x-3）＾2＋（y-1）＾2＝1と共通点を持つのは、直線：y-1-kx＝0と点（3、1）との距離が円の半径≦1であればよいから、｜3k｜/√（k＾2＋1）≦1　→　｜k｜≦1/（2√2）。

回答No.3

info22

#2です。

(2)(ii)
>(y-1)/x　…(◆)
(y-1)/x=kとおくと
y=kx+1
kは直線の傾きの係数となっている。
この直線が(1)で求めたGの軌跡の円と共有点を持つようなkの範囲から
図のSRの傾きの接線（緑色直線）の傾き　kでkmax、つまり(◆)の最大値が求まり、
図のSTの傾きの接線（緑色直線）の傾き　kでkmin、つまり(◆)の最小値が求まります。
この先は図をよく観察すれば、直角ΔSRQの辺の比を利用してkの最大、最小値はすぐ出せると思いますので、やってみてください。

分からなければ、途中計算を補足に書いて、その先の行き詰っている所を補足質問して下さい。

回答No.2

info22

(1)
Gの座標(x,y)は分かりますか？
A(6,0),B(3,3),P(3cos(t),3sin(t))から
x=(6+3+3cos(t))/3, y=(0+3+3sin(t))/3
これから cos(t),sin(t)を消去すれば
G(x,y)の軌跡が出ます。→半径1,中心Q(3,1)の円

(2)(i)図のように
線分OQ（=√10）とGの軌跡の円の交点D、
OQの延長とGの軌跡の円の交点Eとすると
OD=OQ-1,OE=OQ+1 となりますね。

x^2+y^2の最大値は　OE^2、最小値は 0D^2 となります。

(2)(ii)
記述が曖昧です。
Y-(1/X)
(Y-1)/X
のどちらでしょうか？

補足

(y-1)/Xです。すみませんでした。

回答No.1

gohtraw

（１）重心の座標を（ｘｇ、ｙｇ）とおき、重心の定義からＸとＹをｘｇ、ｙｇで表わす。このＸ，Ｙを円Ｃの式に代入する。
（２）上記より（）点Ｐの軌跡は円になる。Ｘ＾２＋Ｙ＾２はこの円上にある点と原点との距離に他ならず、その最大値、最小値は原点と円の中心を結ぶ直線が円と交わる点で与えられる。