線形代数の証明問題がわかりません

質問

ベクトルの問題で、自力ではどうにもできない問題があるのでよろしく願いします。

三つのベクトルA，B，Cが同一平面内にあるとき次式が成り立つこと示せ。
１）A・（B×C）=０
２）pA＋qB＋rC=0　（p,q,rは少なくとも二つは0でない実数）

１）はわかるので２）をよろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

「A,B,Cはゼロベクトルではない」てのが仮定されてないか？

三つのベクトルA，B，Cが同一平面内にあるとき
つまり，
A，B，Cは一次従属
だから，
pA＋qB＋rC=0　(p,q,rの少なくとも一つは0ではない)
もし，p,q,rのうち，二つが０だとすると，
A,B,Cのうちどれかが0になるので
p,q,rの少なくとも二つは０ではない．

回答No.3

noname#108210

「A,B，Cは零ベクトルでない」と
「p,q,rの少なくとも一つは0ではない実数」が仮定されているのでは？

次の二つのことを示せばいいのです．
（１）A,B,Cが同一平面内にあれば，２）が成り立つ．
（２）逆に，２）が成り立てば，pが零ベクトルでないとして，
　　　A=（q/p）B＋（r/p）C　で　１）が成り立つ．

回答No.2

noname#101199

どこまでちゃんと証明しなくちゃいけないんだろう。
とりあえず感覚的には、

（１）は、A,B,Cが作る６面体の体積を表しています。
それが0ということは、同一平面にあるということを意味する。

また、３ベクトルが同一平面内にあるということは、従属関係（線形従属）があるので、(2)は明らかに成り立ちます。