ベクトルの問題

質問

4点A(1,0,3), B(2,0,4), C(3,-4,1) D(2,2,1)について次の問いに答えよ。

（１）　3点A,B,Cを通る平面をαとするとき、点Dが平面α上にないことを示せ。

（２）　点Dと平面α上の点Pとの距離が最小であるような点Pの座標を求めよ。

　（１）は分かりました。
　（２）を教えてください。

回答No.2

USB99 · ベストアンサー

もう分かっているだろうけど、
平面に垂直なベクトルは(1, 1,-1)となる。よってDを通る平面に垂直な直線は
x=t+2、y= t+2、Z =-t+1
と書ける。
これを、x +y―z +2=Oに代入。

お礼

うまくお導きいただきまして感謝申し上げます。

回答No.3

yyssaa

（２）　点Dと平面α上の点Pとの距離が最小であるような点Pの座標を求めよ。
＞点Pは点Dから平面αに下ろした垂線の足になるので、P(x,y,z)として
↑DP=↑P-↑D=↑(x-2,y-2,z-1)が平面α上の独立な２ベクトル↑AB及び↑AC
とそれぞれ直交し、かつP(x,y,z)が平面αの式を満たせばよい。
↑AB=↑B-↑A=↑(1,0,1)、↑AC=↑C-↑A=↑(2,-4,-2)だから直交の条件は
↑DP・↑AB=↑(x-2,y-2,z-1)・↑(1,0,1)=x-2+z-1=0、x+z-3=0・・・・・(ア)
↑DP・↑AC=↑(x-2,y-2,z-1)・↑(2,-4,-2)=2(x-2)-4(y-2)-2(z-1)=2x-4y-2z+6=0
x-2y-z+3=0・・・・・(イ)、平面αの式x+y-z+2=0・・・・・(ウ)
(ア)(イ)(ウ)を連立で解いてx=y=1/3、z=8/3、よってP(1/3,1/3,8/3)・・・答

お礼

本当に感謝します。回答２の方をベスとアンサーにさせてもらいましたが、同じです。本当にありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

Ｄからαに垂線を下ろしてみたら？

補足

Dからαに垂線は下ろしました。
点Dと平面α上の点Pとの距離が最小となるのはDPベクトル、平面αが垂直の時。
平面αの方程式は、x+y-z+2=0とだしました。