数学IIＢの問題

質問

高校数学IIＢの問題です。ベクトルの問題です。解答解説をよろしくお願いします。

aを正の実数とする。三角形ＡＢＣの内部の点Ｐが5PAベクトル+aPBベクトル+PCベクトル=0ベクトルを満たしているとする。このときAPベクトル＝a/a+1⃣ABベクトル+2⃣/a+3⃣ACベクトルが成り立つ。直線ＡＢと辺ＢＣとの交点Ｄが辺ＢＣを1:8に内分するならば、a=4⃣,　APベクトル=5⃣/6⃣7⃣ADベクトルとなる。このとき点Ｐは線分ADを8⃣:9⃣に内分する。さらに｜ABベクトル｜＝2√２、｜BCベクトル｜＝√10、ACベクトル＝√6ならば、ABベクトル・ACベクトル＝(10)である。
したがって、｜APベクトル｜²＝(11)(12)(13)/(14)(15)となる。

回答No.2

meowcoooo · ベストアンサー

5PA + aPB + PC = 0
始点をAに変えると
-5AP + a(AB - AP) + AC - AP = 0
⇔(a + 6)AP = aAB + AC
⇔AP = aAB/(a + 6) + AC/(a + 6)・・・☆
(1) = 6, (2) = 1, (3) = 6

＞直線ＡＢと辺ＢＣとの交点Ｄ
は
直線ＡPと辺ＢＣとの交点Ｄ
のミスだとすると

内分点のベクトルなので
AD=(8AB+AC)/(1+8)=8AB/9 +AC/9
また、直線の関係なのでAD=kAP・・・＊
＊を使うと
kAP=8AB/9 +AC/9
⇔AP=8AB/9k +AC/9k
ここで☆の式と係数を比較して、連立方程式を解くと
a/(a+6)=8/9k, 1/(a+6)=1/9k
⇔a/(a+6)=8/9k, a+6=9k(両辺の逆数を取る
⇔a/(a+6)=8/(a+6)(右式を左式に代入
⇔a=8, k=14/9
よって＊よりAD=14AP/9
⇔AP=9AD/14
(4)=8.(5)=9.(6)=1.(7)=4
そして(8)=9.(9)=5

内積AB・AC=|AB||AC|cos∠BAC
で求まる.
ここで余弦定理から
cos∠BAC=(|AB|^2 +|AC|^2 -|BC|^2)/2|AB||AC|
なので代入して約分すると
内積AB・AC=|AB||AC|cos∠BAC
=(|AB|^2 +|AC|^2 -|BC|^2)/2
値を代入して
=(8+6-10)/2=2
(10)=2.

最後に☆の式をa=8を代入し、両辺二乗して
|AP|^2=(16|AB|^2)/49 +(4AB・AC)/49 +(|AC|^2)/196
値を代入し
=128/49 +8/49 +3/98
=256/98 +16/98 +3/98=275/98
(11)=2.(12)=7.(13)=5.(14)=9.(15)=8

お礼

問題の訂正もしていただいてありがとうございました！
わかりやすかったです！

補足

直線ＡＢと辺ＢＣとの交点Ｄの部分が仰る通り、直線ＡPと辺ＢＣとの交点Ｄでした！すみません！
回答ありがとうございました！
返事が遅れてしまい申し訳ありませんでした！

回答No.1

asuncion

5PA→ + aPB→ + PC→ = 0
PB→ = AB→ - AP→, PC→ = AC→ - AP→であるから、
5PA→ + a(AB→ - AP→) + AC→ - AP→ = 0→
-5AP→ + a(AB→ - AP→) + AC→ - AP→ = 0→
(a + 6)AP→ = aAB→ + AC→
AP→ = aAB→/(a + 6) + AC→/(a + 6)
選択肢1 = 6, 選択肢2 = 1, 選択肢3 = 6

＞直線ＡＢと辺ＢＣとの交点Ｄ
これがちょっとイメージできません。

補足

回答ありがとうございます！
返答が遅れてしまい申し訳ございません！
直線ＡＢと辺ＢＣとの交点Ｄの部分が直線ＡPと辺ＢＣとの交点Ｄでした！質問の方は誤りでした。すみません！