ベクトルの問題なんですが、教えて下さい

質問

平面状上に基点Ｏと異なる定点Ａ(aベクトル)がある。
この平面上で、ベクトル方程式pベクトル×pベクトル－aベクトル×pベクトル＝0はどんな図形を表すかというもんだいです。

pベクトルでくくってpベクトルとｐ－aベクトルが垂直だとはわかったんですが、どんな図形かがわかりません。
ベクトル方程式ってｐベクトル奇跡？の事をいうんですか？
わかりにくい所については補足要求して頂ければ補足します。
ヒントだけでもいいので、皆様よろしくお願いします！

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

No.1さんのご説明のような幾何学的考察は非常に大切と思います.
ただし，高校数学とすると，P=O のときと，P=A　のときは零ベクトルが出てくるので，いちおう別扱いしておいた方が安全と思われます．大学以上では全く気にしませんが．
[１）P≠O,A　のとき，→OP・→AP＝０　より，点Pは　∠OPA＝90°となる全ての点をとりうるので，2点O,Aを直径の両端とする円を描く．(ただし2点O,Aを除く．)
２）P＝O　または　P=A　のとき，それぞれ　→OP＝→0，および　→AP＝→0　となり，与式は成立．
１），２）より，動点Pは2点O,Aを直径の両端とする円(全体)を描く
]などです．

証明的な問題でなければ
p・(p－a)=0　即，結論「点Pは2点O,Aを直径の両端とする円を描く」とやってしまうこともありますが，その辺は問題の要求レベルを見極めて判断してください．

参考までに，(p－a)・(p－b)=0 ⇔　→AP・→BP＝0　⇔「点Pは2点A,Bを直径の両端とする円を描く」です．

ここでは別解を示します. ただしベクトルの矢印は全て省略しますので, 補ってください.
一般に, 内積　v・v＝|v|^2　に注意．平方完成もどきです．

　p・(p－a)=0
⇔p・p－a・p=0
⇔(p－a/2)・(p－a/2)－(a/2)・(a/2)=0
⇔|p－a/2|^2－|a/2|^2=0
⇔|p－a/2|^2＝|a/2|^2
⇔|p－a/2|＝|a/2|
これは，線分OAの中点をMとすると，
|→MP|＝|→OA|/2　（|→MP|＝|→OM|　でも同じです）　
つまり　MP=(1/2)OA を表し，点Pはこの式を満たす全ての点をとりうるので，
結局，
　　線分OAの中点を中心に線分OAを直径とする円を描く．

お礼

詳しくありがとうございます。
今きずいたんですけど、点Ａって動かないんですよね、
ちょっとうっかりしてました。

大学では0ベクトルとかないんですか、なんかいいですね、
概念だけしっかり押さえればＯＫなんですね。でもその概念がすっごく難しそうですね。

この問題は教科書の問いなんですよね、だから絶対解けるようにならないとだめなんです。

別解、なんか式を作るのはちょっと自分は無理そうですけど、
式の過程はわかりました。
結果はすごくわかりやすくなるんですね。
なるほどです。
どうもありがとうございました。

回答No.1

pierokun

(p)(p-a)=0
となり、このベクトルが持つ意味は、「OPベクトルとAPベクトルが垂直」である。となるところまではOKでしたよね。実はこのPの奇跡は「線分ABを直径とする円」です。そこで次の知識を使います。
『円とその中心を通る直線との交点(この線分は直径となります)を仮にS,Tとします。それとその二点S,Tを除く円周上のある点をQとします、すると点Qをどの位置にとっても∠STQは必ず直角となります。』この知識をあらかじめ知っておくとピンとくるのではないかと思います。
この問題は、
　「OPベクトルとAPベクトルが垂直」
⇔「∠OAPは直角」
⇔「さっきだらだら述べた知識がピンとくる」
⇔「線分ABを直径とする円とわかる」
と考えることができます。
でもなりより図を書くことが大事なので実際に作図してみることをお勧めします。
だらだらと長くなりましたが以上で説明を終わります。

お礼

ごめんなさい、点Ｂの位置わかりました。
ＯＡの中点なんですね。
疑問解決したのでＯＫです。
どうもありがとうございました！

補足

どうもありがとうございます。
『　　』は円周角で習ったやつですよね、
う～ん、知ってたけどピンときませんでした。
実際図を書いてみます。

ちょっとよくわからないとこがあったんですけど、
点Ｂの位置はどこらへんなんでしょうか？？
＞「線分ABを直径とする円」です。
とあるので、点Ｂも定点ですよね。
↑も良かったらよろしくお願いします。
どうもありがとうございました。