複素数 ごり押しで計算

質問

(1-i)x^2-(5-i)x+(4+2i)=0 という簡単な方程式があります。xについて解きたいと思います。(iは虚数です)

右辺0なので、(1-i)で割ってから計算するとすぐなのですが、ふと思い立ってそのまま解の公式を適用すると、なんだか正解がでなくなってしまいました。
√i = (2^(-1/2))(1+i)に気をつけて計算してみたのですが、何度計算しても答えに辿り着かず、かといって解の公式の使い方を忘れているわけでもなさそうです。

どこが間違っているか知りたいので、step-by-stepで解き方を教えて下さい。お願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

> (1-i)x^2-(5-i)x+(4+2i)=0 ...(1)
> という簡単な方程式があります。

おそらく、質問者さんにとって簡単な方程式ではないようです。
解けないのでしょ!

>xについて解きたいと思います。
>(iは虚数です)
iは虚数単位です。
いわゆる、一般的な虚数ではありません。

>右辺0なので、(1-i)で割ってから計算するとすぐなのですが、

直ぐ、できるなら、ちゃんと解答を補足に書いて欲しいね。
合ってるならチェックしてやるから！
＃普通なら共役複素数の(1+i)を掛けるのだがね。

>ふと思い立ってそのまま解の公式を適用すると、なんだか正解がでなくなってしまいました。

虚数係数の二次方程式に対して、解の公式は一般には使えないね。
√の中に虚数が来る場合の√の定義がなされていないからね。

>なんだか正解がでなくなってしまいました。
>√i = (2^(-1/2))(1+i)に気をつけて計算してみた

√iの定義は何ですか？どこからきたのですか？
勝手に定義しないでください。
解の公式を機械的に使えば√(-2i)が出てくるはずです。
この定義が間違うと解の公式が使えるか分からない？
二次方程式の解の公式は実数係数のxについての二次方程式に対して適用できますが、√の仲は正数か負数どまりです。負数の場合に虚数単位を導入して、共役二虚数解、実数の重解、異なる二実数解の解に分類できる。

しかし、xについての虚数係数二次方程式は、判別式も使えないし、共役虚数解とならない虚数解も存在することもあり、解の公式を機械的に使えば解の式中の√の中に虚数a+bi(b≠0)の虚数が来て得体のしれない虚数解が出てきます。

(1)に実数解が存在するとすればxを実数と仮定して考えて見ればよい。
このとき
(1)は
　(x-1)(x-4)-i(x+1)(x-2)=0
xは実数だから
　(x-1)(x-4)=0かつ(x+1)(x-2)=0
２つの方程式を同時に満たす実数解のxは存在しない。つまり、(1)を満たす実数解は存在しないということです。
＃このことは二次方程式の判別式からは導けないことです。

(1)は実数解を持たないことが分かったので、xの虚数係数の二次方程式であることから、２つの虚数解を持つと言える。但し、共役虚数解でない可能性大です（この場合の虚数係数では共役虚数解でない異なる虚数解を持ちます）。

質問者さんのやられた二次方程式の解の公式を、形式的に無理やり適用すると
　x=(5-i+√(-2i))/(2-2i),(5-i-√(-2i))/(2-2i)
この式中の√(-2i)の定義が決められていないことが問題です。

さて、異なる共役でない虚数解を持つことが分かったので、その1つを
　x=a+ib (a,bは実数、b≠0)　...(2)
とおいて(1)に代入して式を整理すると
　(a^2-3a-b^2+2b+1)+i(2a-3)(b-1)=0
a,bは実数だから
　a^2-3a-b^2+2b+1=0...(3) かつ (2a-3)(b-1)=0 ...(4)
これを実数a,bについて解く。(4)よりa=3/2とすると(3)からbは虚数となるのでa≠3/2。b=1とすると(3)から a=1,2と実数解を得る。
したがって方程式(1)の２つの異なる解は、求めたa,bを(2)に代入して
　x=1+i,2+i
と求まる。

なお、(1)に(1+i)/2を掛けると
　x^2-(3+2i)x+1+3i=0
この二次方程式なら解の公式を使わずに、因数分解すると
　(x-1-i)(x-2-i)=0
これから、異なる２つの虚数解
　x=1+i,2+i
が求まる。

[参考]
√(-2i) … 2乗すると-2iになる数z。
z^2=-2i ...(※)
z^4=-4
z^4+4=0
(z^2+2)^2-4z^2=0
(z^2+2z+2)(z^2-2z+2)=0
z=-1±i, z=1±i
(※)を満たすのは
z=-1+iとz=1-i
となります。
つまり
√(-2i)は２つの値をとるため一意的に決まりません。
つまり値の候補は２つ有り、1つの値に独断で定義してはいけませんね。

お礼

ありがとうございます。よく理解出来ました。

ちなみに、元々どうやっていたかですが

x^2 - (5-i)/(1-i) + (4+2i)/2(1-i) = 0
x^2 - (5-i)(1+i)/2 + (4+2i)(1+i)/2 = 0
x^2 - (3+2i)x + (1+3i) = 0
解の公式を適用して、 x= {(3+2i)±(9+12i-4-4(1+3i))^(1/2)}/2
x=2+i,1+i

もともとはこのように解いていました。
しかしこれでは間違いですね。偶然、根号の中で虚数が消えるので「綺麗に消えるように取ってあるじゃないか」と感心してたのですが、そもそも

>>しかし、xについての虚数係数二次方程式は、判別式も使えないし、共役虚数解とならない虚数解も存在することもあり、解の公式を機械的に使えば解の式中の√の中に虚数a+bi(b≠0)の虚数が来て得体のしれない虚数解が出てきます。

この部分をすっかり忘れていました。

尚、強引に解く時、√(-2i) = √(-2) ・ √i = √2i (cosπ/2+isinπ/2)^1/2　として計算していました。
ここでz=1-iのみを持ってきて、上の部分と計算結果が合わない…と悩んでいました。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

A_NO3です。√(2)で割るのを忘れてますね。
申しわけない。

回答No.4

178-tall

実係数の公式を拡張する方策は、錯乱を招き易いのかしらン。

ならば、複素係数 {p, q} の二次方程式 x^2 + px + q = 0 を解く「安全策」？

ふつうに、
　x^2 + px + q = (x - p/2)^2 + q - (p/2)^2 = 0
と整形。
　V = (p/2)^2 - q　　　　　　　…(1)
とでも記すと、V の開平問題になりますネ。

ついでに、開平も「安全策」で…。
　(p/2)^2 - q = r*e^(iφ)
と「主値」表示すれば、(1) の開平結果は、
　(√r)*e^(iφ/2)
　(√r)*e^(iφ/2 + π)　　　　…(2)

原題の場合なら、
　(1-i)x^2-(5-i)x+(4+2i)=0
から、p = 3 + 2i, q = 1 + 3i らしいので (1) の右辺は、
　(p/2)^2 - q = 1/4
つまり、(2) の開平結果は V = ±1/2 。

…てな調子。
　( x = V + p/2 = {±1 + 3 + 2i}/2 = 2+i & 1+i)

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

普通の2次方程式の解の公式で問題ないですよ。

2次方程式の解の公式は平方完成から出てくるわけですから
複数数でも当然成り立ちます。
ただし、√を複素数ように拡張してやる必要があります。

ポピュラーな定義は、単純に

a=re^(iθ) (r >= 0, θは偏角)
√(a)=a^(1/2)=r^(1/2)・e^(iθ/2) (-π<θ<=π) ただし a=0 なら √(a)=0

これが平方根の主値で、もう片方は　-√(a)　とします。

なので√(-2i) =√(2)e^(-π/4)=1+i

-2i の平方根= ±√(-2i)=±1±i(複合同順) ですね。

2次方程式の解の公式はこの「平方根」を含んでいますから
これを代入すれば解は2個得られます。

回答No.1

spring135

(1-i)x^2-(5-i)x+(4+2i)=0

x={(5-i)±√[(5-i)^2-4(1+i)(4+2i)]}/[2(1-i)]

1/(1-i)=(1+i)/2

(5-i)/(1-i)=3+2i

ルートの中
[(5-i)^2-4(1+i)(4+2i)]=-2i

よって

√(-2i)=√2(-i)=√2(-1+i)/√2=-1+i(複素平面で考えれば自明）

x=(3+2i)/2±(1+i)(-1+i)/4=(3+2i±1)/2=(2+i),(1+i)

検算

(1-i)x^2-(5-i)x+(4+2i)=0 より

x^2-(3+2i)x+(1+3i)=0

2根の和＝2+i+1+i=3+2i

2根の積＝(2+i)×(1+i)＝1+3i

OK